4.2. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Кинетическая энергия измеряется работой, которую тело может произвести благодаря инерции при затормаживании тела до полной остановки. При вращательном движении роль массы выполняет момент инерции , а вместо линейной скорости выступает угловая скорость , и формула кинетической энергии при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси приобретает вид:

.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

,

где - масса катящегося тела; - скорость центра масс тела; - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; - угловая скорость тела.

4.3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу (рис.4.3):

.

Модуль момента силы равен , где – угол между и , - плечо силы (l – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление действия силы (см. рис. 4.3)).

Направление вектора совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его кратчайшем повороте от и .

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы , определенного относительно произвольной точки О данной оси z.

Работа при вращении тела вокруг неподвижной оси z равна произведению момента действующей силы относительно данной оси на угол поворота :

.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

, но ,

поэтому

или .

Учитывая, что , получаем

. (4.1)

Уравнение (4.1) представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z.

Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции (смотри раздел 4.5), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

,

где - главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси). Таким образом, направление совпадает с направлением .

4.4. Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса материальной точки относительно произвольной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора этой материальной точки, проведенного из точки О, на величину ее импульса :

,

где - масса материальной точки; – ее скорость при поступательном движении или линейная скорость ее при вращательном движении.

Вектор направлен так же, как и вектор угловой скорости , т.е. вдоль оси вращения, согласно правилу правого винта (рис. 4.4).

Если твердое тело, вращающееся вокруг некоторой неподвижной оси z, представить в виде совокупности элементарных масс, и спроектировать моменты импульсов всех этих элементарных масс на это направление, получим момент импульса тела относительно этой оси ( – скалярная величина).

Суммирование производим по всем элементарным массам (имеющим линейную скорость и радиус вращения ), на которые разбивается тело. Так как , где ω - угловая скорость вращения тела, а - момент инерции тела относительно данной оси, тогда момент импульса тела относительно оси z равен

,

т.е.

. (4.2)

В случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии, векторы и имеют одинаковое направление и тогда

.

Продифференцируем выражение (4.2) по времени:

,

в итоге

. (4.3)

Таким образом, производная по времени от момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси.

Выражения (4.2) и (4.3) – еще две формы основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z.

Можно показать, что имеет место векторное равенство:

. (4.4)

Из уравнения (4.4) видно, что если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса тела остается постоянным.

Если , то

(4.5)

Выражение (4.5) представляет собой закон сохранения момента импульса.

Для замкнутой системы тел закон сохранения момента импульса формулируется так: момент импульса замкнутой системы тел не меняется со временем, причем это утверждение справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол.