13) Уравнение с разделенными переменными и

14) Уравнение с разделяющимися переменными Нелинейные дифференциальные уравнения

     Уравнения с разделенными переменными

     Общий интеграл

     Уравнение с разделяющимися переменными

     Общий интеграл

     Уравнение в полных дифференциалах

где

     Существует такая функция u(x, y), что

     Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах u(x, y) = C.

     Функция u может быть представлена в виде

15) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, структура общего решения линейного дифференциального уравнения, метод вариации произвольного постоянного

Опр. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

Структура общего решения линейного дифференциального уравнения

Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения: y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x).

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

16) Линейное дифференциальное уравнение энтого порядка

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

17) Теорема о существовании единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения энтого порядка

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f(x), p_i(x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x₀ - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий

существует единственная функция y(x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению ;

и начальным условиям

18) Линейная зависимость и линейная независимость системы функции

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n , не равные нулю одновременно и такие, что α₁y₁(x) + α₂y₂(x) + ... + α_ny_n(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.

19) Теорема об обращении в ноль определителя Вронского для линейно зависимой системы функций

Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется определитель

.

(26)

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале. Док-во. Если функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

для .

(27)

Продифференцируем по x равенство (27) n - 1 раз и составим систему уравнений Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы - определитель Вронского (26). При эта система имеет нетривиальное решение , следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак, W(x) = 0 при , т.е. на (a, b).