Матан, вопросы:

1. Понятие равномерно сходящейся на множестве функциональной последовательности

2. Необходимые и достаточные условия равномерной сходимости функциональной последовательности к предельной функции

3. Критерии Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

4. Понятие равномерно сходящегося на множестве функционального ряда

5. Критерии Коши равномерной сходимости функционального ряда

Ряд называется равномерно сходящимся на множестве E, если на этом множестве определена функция S(x) такая, что   

Теорема 2. Критерий Коши равномерной сходимости ряда.

Для того, чтобы ряд (6) равномерно сходился на множестве E, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, т.е. 

 

6. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

7. Теорема о почленом переходе к пределу в функциональном ряде

// Лучше не нашел

на

x₀ — предельная точка для E.

— равномерно сходится на E. Можно совершить почленный предельный переход.

Доказательство

Покажем, что ряд сходится.

x достаточно близко к x₀.

модуль

8. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда

Теорема. Если все члены ряда (1) - непрерывные на [a;b] ф-ции, а ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].

Док-во: Пусть - произв.точка [a;b]. Для опр-ности будем считать, что (a;b). Нужно док-ть, что S(x)= непрерывна в , т.е < (2), [a;b]. По усл-ю, ряд (1) равномерно сх-ся на [a;b], т.е n [a;b] < (3), где = . Фиксируем номер , тогда при n= из (3) получаем: < (4). В частности, при x= находим < (5). Ф-ция (x) непрерывна в как сумма конечного числа непрерывных ф-ций. По опр-ю непрерывности [a;b] < (6). Восп. рав-вом S(x)-S( )=(S(x)- (x))+( (x)- ( ))+( ( )-S( )). Отсюда получаем, исп. (4)-(6) и нер-во треугольника : < , для [a;b], т.е справедливо утв-е (2). В силу произвольности точки ф-ция S(x) непрерывна на отрезке [a;b].

9. Теорема о почленом интегрировании функционального ряда

10. Понятие функции заданной неявно, теорема о существовании непрерывности и дифференцируемости заданной неявно

Функция y = f(x) называется функцией, заданной неявно (или неявной функцией) уравнением

F(x,y) = 0

(1)

и прямоугольником D : a  ≤  x  ≤  b , c  ≤  y  ≤  d , если

1) F(x,y) определена в D ;

2) "x  О  [a, b] уравнение F(x, y)  =  0 имеет единственное решение y  О  [c, d] .

Иначе говоря, уравнение (1) определяет функцию y = y(x)  ( x О [a,b] ) такую, что F(x, y(x)) ≡ 0 .

Аналогично определяют неявные функции любого числа переменных как функции, заданные уравнением и областью.

Условия существования неявной функции

Теорема Пусть

1. функция F(x, y) непрерывна в прямоугольной окрестности

D = { (x, y): |x  −  x0| < δ1,  |y  −  y0| < δ2 }

точки (x0, y0) , причем F(x0, y0) = 0 ;

2. функция F(x, y) при каждом фиксированном x О (x0  −  δ1, x0  +  δ1) строго монотонна по y на интервале (y0  −  δ2, y0  +  δ2) .

Тогда существует окрестность точки x0 , в которой уравнение F(x, y) = 0 определяет функцию y  =  y(x) ( y(x0)  =  y0 ), непрерывную в этой окрестности.

11. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, порядок уравнения, решение

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

F (x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y⁽ⁿ⁾(x)) = 0,

где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

 

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

12. Уравнение первого порядка разрешенное относительно производной, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка разрешенного относительно производной

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка, записанное в нормальной форме:

Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f(x, y), D ⊂ R² .

Функция y = y(x) является решением задачи Коши  

если y = y(x) дифференцируема на [a, b] , (x, y(x)) ∈ D   для всех x из [a, b] ,   y(x₀) = y₀ , x₀∈[a, b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y) и ее частная производная   f_y(x, y)  непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x₀, y₀) принадлежит области D.

Тогда :

— в некоторой окрестности (x₀ − δ, x₀ + δ) точки x₀ существует решение задачи Коши  

— если y = φ₁(x) и y = φ₂(x) два решения задачи Коши, то φ₁(x) = φ₂(x) на (x₀ − δ, x₀ + δ) .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x₀, y₀) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Бесконечное множество решений уравнения  

можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x₀) — семейство решений задачи Коши  

элементы которого различны для разных значений x₀ . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x₀) .

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x₀ . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.