1.Теория вероятностей — магматическая наука, изучающая зако­номерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом из­учаемые моления рассматриваются » абстрактной фурме, независимо от их конкретной природы. То есть теория вероятностей рассматрива­ет ве сами реальные явления, а их упрощенные схемы математиче­ские модели. Предметом теории вероятностей являются математи­ческие модели случайных явлений. При этом под случайным явлением понимают явление, предсказать исход которого невозможно (при не­однократном воспроизведении одного и того же опыт оно протекает каждый раз несколько по-иному). Примеры случайных явлений: вы­падение герба при подбрасывании монеты, выигрыш по купленному лотерейному билету, результат измерения какой-либо величины, дли­тельность работы телевизора и т. и.

Цель теории вероятностей — осуществления прогноза в области Случайных явлений, влияние на ход этих явлении, контроль их, огра­ничение сферы действия случайности. В настоящее время нет практи­чески ни одной области науки, в которой в той или иной степени но применялись бы вороятностные методы.

Комбинаторика — раздел математики, в которой изучаются за­дачи выбора элементов иэ заданного множества и расположении их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок)) получаемых из элементов заданного коночно­го множества В каждой из них требуется подсчитать число возмож­ных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Многие комбинаторные задели могут быть решены с помощью сле­дующих двух важных прилил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения (основной прииннп}: если нз некоторого конечного множества первый объект (элемент х) можно выбрать n1 спо­собами и после каждого такого выбора второй объект (элемент у) мож­но выбрать n2 способами, то оба объекта (х и у) и указанном порядке можно выбрать n1*n2 способами.

Правило суммы.Если некоторый объект x можно выбрать п1 способами, а объект у можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (х или у), можно выбрать n1+n2] способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Пусть дано множество. состоящее из различных элементов.

Размещением из п элементов по т элементов (0 < m ≤n) назы­вается любое упорядоченное подмножество данного множества, содер­жащее m элементов.

Из определения вытекает, что размещения — это выборки (комби­нации), состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друг» либо составом элементов, либо порядком их расположения

Число размещений из n элементов но m элементов обозначается символом и вычисляется по формуле или

Сочетаниям из п элементов по т (0 ≤ m ≤ n) элементов назы­вается любое подмножество, которое содержит m элементов данного множества

Из определения вытекает, что сочетания — это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных

n элементов , и которые отличаются друг от друга хотя бы одним

элементом, те отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается сим­волом и вычисляется по формуле или

Псрестановкой из n элементов называется размещение из n элементов пo n элементов.

Из определения вытекает, что перестановки — это выборки (комбинации), состоящие из n элементов к отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n эле ментов обозначается символом Рn и вычисляется по формуле Р_n = п!

2. Случайным называется событие, которое при осуществлении некоторой совокупности условий может либо произойти, либо не произойти, в зависимости от ряда случайных факторов. Достовернымназ-ся событие, которое заведомо происходит при осуществлении каждого из испытаний. Невозможнымназ-ся событие, которое никогда не может произойти ни при одном из совершаемых испытаний. События называют несовместными, если происхождение одного из них исключает происхождение остальных в одном и том же испытании. Полная группа событий-это несовместные события и при каждом испытании происходит одно из них( и только одно).

2. Равновозможныесобытия-это если есть все основания считать, что ни одно из этих событий не имеет никаких существенных преимуществ по отношению к другим. Вероятность(Р(А)=m/n)-это величина,которая количественно отражает возможность происхождения данного события в отдельном испытании. Свойства вероятности: 1. вероятностьдостоверного события равна единице, 2. вероятность невозможного события равна нулю, 3.вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Относительной частотой событияназ-ют отношение числа испытаний, в кот. событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

3.Класс S подмножеств пространства Ω называется алгеброй множеств (событий), если;1. Ø€S,Ω€S 2.из А € S вытекает, что А € S;3. из A € S, В € S вытекает, что A + B€S, A* B€S. Заметим, что в условии 3 достаточно требовать либо А + В € S. либо AB € S, так как A + В =A + Б. A*B = A-В.Алгебру событий образует, например, система подмножеств S = {Ø,Ω}}. Действительно, в результате применения любой из вышепри­веденных операций к любым двум элементам класса S снова получа­ется элемент данного класса: Ø+Ω=Ω, Ø*Ω=Ø, Ø=Ω, Ω=Ø.При расширении операций сложения и умножения на случай счет­ного множества алгебра множеств S называется ҩ-алгеброЙ,если из А_п € S, n = 1,2,3...., следует

Множество всех подмножеств мпожества Ω, если оно конечно или счетно, образует алгебру.

Сумма (или объединение) двух событий А € Ω К В € Ω (обознача­ется А + В или Аи В) — это множество, которое содержит элементы, принодлежащие хотя бы одному из событий А и В.

Произведение двух событий А €Ωи В € Ω (обозначается АВ или АПВ) — это множество, которое содержит элементы, общие для собы­тий А и В.

Разность событий А € Ω и В € Ω (обозначается А-В иди А\В) — это множество, которое содержит элементы события А, не принадле­жащие событию В.

4.Статистической вероятностью событии А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при до­статочно большом числе испытаний (опытов).

Вероятность события А обозначается символом Р(А). Согласно данному определению

Р[А) =Р *А=nA/n

Математическим обоснованием близости относительной частоты Р*(А) и вероятности Р{А) некоторого события А служит теорема Я. Бернулли.

Вероятности Р{А) приписываются свойства 1 -4 относительной ча­стоты:

1. Статистическая вероятность любого события заключена между ну­лем и единицей, т. о.

О ≤ Р{А) ≤ 1.

2. Статистическая вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

Р{Ø) = 0.

3. Статистическая вероятность достоверного события равна единице, т.е.

Р(Ω)= 1.

4. Статистическая вероятность суммы (несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. с. если А * В =Ø, то Р{А + В)= Р(А) + Р(В).

5. Геометрическая вероятность-вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости).

Аксиоматическое построение теория вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. II. Колмогоровым. Аксиомы теории вероят­ностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами статистической вероятности, характеризующей ее практический смысл. Пусть Ω — множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента), S — алгебра событий. совокупность S подмножеств множества Ω называется алгеброй (о-алгеброй). если выполнены следующие условия:

1. S содержит невозможное и достоверное события.

2. Если события А1,А2,А3 ...(конечное или счетное множество) принадлежат S, то S принадлежит сумма, произведение и дополнение (т.п. противоположное для А) этих событий.

Вероятностью называется функция Р{А), определенная на алгеб­ре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворя­ющая следующим аксиомам:

1.Каждому случ событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вер-тью события А.

А̴ Р(А)>=0

2.Вер-ть достоверного события = 1.Р(Ω)=1

3. Вер-ть суммы А+В несовместных событий А и В равна сумме вер-стей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (А*В)=Ø

Совокупность объектов (Ω, S. P), где Ω — пространство элементар­ных событий, S — алгебра событий, Р — числовая функция, удовлетво­ряющая аксиомам А1-АЗ, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.Вероятностное пространство служит математической моделью лю­бого случайного явления; заданием этого пространства завершается ак­сиоматика теории вероятностей.

7.Формула полной вероятности:

Р(А)=Р(В1)*Р(А|В1 )+Р(В2)*Р(А|В2)+…+Р(Вn)*Р(А|Вn)

Вероятности гипотез. Формула Бейеса.

P(A)=P(A|B₁)*P(B₁)+ P(A|B₂)*P(B₂)+…+ P(A|Bn)*P(Bn)- формула полной вероятности.

Событие А может наступить при условии появления одного из нескольких событий B₁,B₂,…,Bn, образующих полную группу.

Тка как, заранее не известно, какое из B₁,B₂,…,Bn произошло, их называют гиполтезами.

Пусть произведено испытание, в результате которого событие А произошло. Требуется найти вероятности гипотез B₁,B₂,…,Bn при условии, что А произошло, т.е. найти P(B₁|A), P(B₂|A),…, P(Bn|A); P(ABk)= P(A)*P(Bk|A)=P(Bk)*P(A|Bk),k=1,2,3,…,n

P(Bk|A)=P(Bk)*P(A|Bk)/P(A)

По формуле полной вероятности P(A) находим:P(Bk|A)=P(Bk)*P(A|Bk)/

Эти формулы называются формулами Бейеса. Они позволяют перераспределить вероятности гипотез B₁,B₂,…,Bn, если известно, что произошло событие А.

8. Последовательность неизвестных испытаний. Формула Бернулли.

Пусть проводится серия независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может произойти с вероятностью р или не произойти с вероятностью q=1-р. Если серия состоит из n испытаний, то вероятность того, что событие А произошло m раз (не важно каких испытаний), равна Pn(m)= * ,где – число сочетаний, равное =n!/m!(n-m)! – формула Бернулли.

9. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.

Для больших значений n пользоваться формулой Бернулли неудобно, т.к. требуется вычислить n!(эн факториал). В этом случае применяют асимптотическую формулу Муавра-Лапласа(локальную): Pn(m) (1/ )*1/ * , где x=(m-np)/ (p не равно 0 и 1); (1/ * =φ(x).

Формула дает хорошее приближение при больших значениях n (чем больше, тем лучше). Однако этой формулой пользуются, когда параметр λ=np 10.

Имеются таблицы для значения функции φ(x)=(1/ * . Таблицы составлены для x>0.

φ(-x)= φ(x)- если функция четная.

Если λ=np<=10, то используют формулу Пуассона: Pn(m) )/m!

10. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты случайного события от его вероятности в каждом отдельном испытании.

Если требуется найти вероятность того, что событие А произойдет от m₁ до m₂ раз (m₁<m₂) в серии из n испытаний, то применяют интегральную формулу Муавра-Лапласа( для больших значений):

Pn(m₁ m m₂) 1/ x, гдепределы интегрирования равны x₁=(m₁-np)/ x₂=(m₂-np)/ (p не равно 0 и 1). Поскольку интеграл ∫ dx не выражается через элементарные функции, то используют специальные таблицы для функции Ф(x)= 1/ x.

Таблицы составлены для x>0, для x<0 применяют свойство Ф(-x)= -Ф(x).

Pn(m₁ m m₂) 1/ x= Ф(x₂) -Ф(x₁).

Интегральная формула Муавра-Лапласа может быть применена для вычисления вероятностей отклонения относительной частоты наступления события А от его вероятностей р не более, чем на заданную величину . Другими словами требуется вероятность выполнения неравенстваl m/n-p l .

Это неравенство можем записать в развернутом виде: - m/n-p ; n(p- ) ).

Неравенство будет выполнено , если в серии из n независимых испытаний, данное событие А произойдет от m₁ раз равное n(p- ) до m₂=n(p+ ) раз.

Интегральная формула Муавра-Лапласа дает нам вероятность Рn(l m/n-p l )=выполнение неравенства = Ф(x₂) -Ф(x₁), где x₁=(m₁-np)/ =(n(p- )-np)/ =- .

Таким образом, вероятность выполнения такого неравенства равна Рn(l m/n-p l )=Ф )-Ф ) = 2Ф .

Из данной формулы можно получить закон больших чисел, заключающейся в том, что какого бы не было мало , можно подобрать n такое, что Рn(l m/n-p l ) будет сколь угодно близка к 1. При n +∞ аргумент функции F также +∞. Сама функция F в этом случае будет .

11. Определение и основные виды случайных величин.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0,1,2,…,100.

Пример2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направление ветра, температура и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (a, b).

Мы будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z.

Например, если случайная величина Х имеет три возможных значений, то они будут обозначены так: х₁, х₂, х₃.

13. Плотностью распределения вероятностен {плотностью распреде­ления, плотностью вероятностей или просто плотностью) непрерыв­ной случайной величины X называется производная ее функции рас­пределения.

0бозначается плотность распределения н.с. в. Х через fx(x) или просто f(x), если ясно о какой с. в. идет речь. Таким образом, по определению

f(x)=F’(x).Функцию f{x) называют также дифференциальной функцией распреде­ления; она является одной из форм закона распределения случайной величины, существует только для непрерывных случайных величин.Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из определения производной следует f(x)=

Но согласно формуле (2.2), F{x + △х) - F{x) = Р{х ≤ X < х + △х). _ Отношен Р{х ≤ X < х + △х)/△x

предс-гавляет собой среднюю вероят­ность, которая приходится на единицу длины участка т.е. среднюю плотность распределения вероятности. плотность вероятности определяется как функция f(x), удо­влетворяющая условию Р{х ≤ X < х + dx)=f(x)dx,выражение f(x)dx – элемент вероятности

Свойства:

1. f{x) неотрицательная, т.е.

f(x)≥0.

2. Вероятность попадания нсв в промежуток [а; Ь] равна определен­ному интегралу от ее плотности в пределах от а до b, т- е. P(a≤X≤b)=

3. Функция распределении н.с в. может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле

F(x) =

4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности веро­ятности н. с. в. в бесконечных пределах равен единице, г. е.