Оптимальная фильтрация.

Как известно из теории линейных цепей интеграл свертки выражает с точностью до постоянного множителя U на выходе линейного фильтра, отклик которого на единичный импульс согласован с функцией сигнала .

На выходе фильтра имеющийся отклик умножается на единичный импульс действ. U.

- отклик.

(1)

δ -единичный импульс.

Сделаем так, чтобы фильтра в некоторый фиксированный момент времени равнялось значению корреляции интеграла. t=

(2)

Учитывая (1) и (2):

Это выполняется, когда:

t=

– импульсная характеристика.

Таким образом, фильтр с импульсной характеристикой дает в заданный момент времени значение корреляции интеграла. Такой фильтр называется оптимальным (согласованный).

Импульсная характеристика согласованного фильтра или отклик на единичный импульс полностью определяется формулой сигнала и представляет собой его зеркальное отражение относительно . Согласованный фильтр не м/б реализован при произвольном значении .

Если , то отклик фильтра возник на уровне раньше, чем подается его импульс. Такой фильтр не реализуется, поэтому вытяр., чтоб отличное от 0 значение отклика располагалось в области t>0. Это условие выполняется, если интервал времени равен или превосходит протяженность сигнала.

Импульсное представление.

Импульсная характеристика согласованного фильтра или отклик на единичный импульс полностью определяется формулой сигнала и представляет собой зеркальное отображение относительно .

Согласно формуле он не может быть реализован при произведении значений . Если , то отклик фильтра возникает на выходе раньше, чем на него подается импульс. Поэтому выбирается таким образом, чтобы отличное от нуля значение отклика располагалось в области t>0. Это условие выполняется, если интервал времени равен или превосходит протяженность сигнала.

Частотное представление.

Используем преобразование Фурье:

, пусть , тогда

– комплексно-сопряженная спектральная плотность сигнала.

,

.

Следовательно, частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя и множителя запаздывания совпадает с комплексно-сопряженной спектральной плотностью сигнала.

Модуль ЧХ совпадает с АЧ спектром сигнала, т.е. те составляющие, которые с каким коэффициентом на входе с таким и на выходе.

Комплексно-сопряженная с ЧХ приводит к компенсации взаимно-фазовых сдвигов между спектральной составляющей сигналов.

В момент времени все составляющие спектра сигнала суммируются по фазе и сигнал достигает максимального значения.

.

Таким образом, максимальное значение сигнала на выходе согласованного фильтра определяется только энергией сигнала и не зависит от формы. Напряжение на выходе в момент времени зависит только от амплитудно-частотного (АЧ) спектра сигнала.

Найдем дисперсию шума на выходе согласованного фильтра. Частотные компоненты шума не коррелируются между собой, следовательно, изменение их взаимного фазового сдвига за счет ФЧХ не влияет на дисперсию шума, поэтому дисперсия шума определяется на выходе согласованного фильтра лишь его спектральной плотностью на входе и АЧХ фильтра.

– спектральная плотность шума на входе от ( ,

где .

Если она постоянна в интервале частот и =0 вне интервала, то , где - спектральная плотность белого шума. Следовательно,

.

Введем обозначение: – коэффициент обнаружения.

Отражение сигнала помехи по напряжению на выходе согласованного фильтра зависит только от спектральной плотности шума и энергии полезного сигнала, и не зависит от его формы.

С труктурная схема оптического приемника обнаружения с согласованным фильтром.

ПУ – пороговое устройство.

СФ – согласованный фильтр.

ВС – временной селектор (запоминает напряжение в момент времени, когда напряжение пропорционально интегралу).

СИ – селект. импульс.

Операция преобразования корреляционного интеграла Z м/б заменена эквивалентной операцией согласованной или оптимальной фильтрации. Напряжение с выхода СФ поступает на ВС, на который подается СИ в момент времени . От селектирного напряжения пропорциональное значению интеграла сравнивают с пороговым.