16.Теорема Ферма

Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке х₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х₀ существует производная, то она равна нулю, т.е. f '(x₀) = 0.

Теорема Ролля

Пусть на [a, b] определена функция f(x), причем: 1) f(x) непрерывна на [a, b]; 2) f(x) дифференцируема на (a, b); 3) f(a) = f(b). Тогда существует точка с(a, b), в которой f '(с) = 0.

Теорема Лагранжа

Пусть на [a, b] определена функция f(x), причем: 1) f(x) непрерывна на [a, b]; 2) дифференцируема на (a, b). Тогда существует точка с(a, b) такая, что справедлива формула

Правило Лопиталя

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

17.Точка х₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой -окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)) при х  х₀. Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.

Теорема. Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. Если при переходе через эту точку слева направо производная f '(x) меняет знак с “+” на “” ( c “” на “+”), то в точке х₀ функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f '(x) не меняет знак в -окрестности точки х₀, то данная функция не имеет локального экстремума в точке х₀.

Необходимое условие экстремума: Для того, чтобы функция y = f (x ) имела экстремум в точке х₀ , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала. Такие точки называют критическими (или стационарными ).

Теорема. Если первая производная f '(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке x₀ , а f'' (x₀ ) в этой точке > 0, то точка x₀ есть точка минимума функции f (x ); если f '' (x₀ ) < 0, то x₀ – точка максимума.

Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции.2. Исследовать функцию на четность-нечетность.3. Найти вертикальные асимптоты.4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.5. Найти экстремумы и интервалы выпуклости функции и точки перегиба.6. Найти точки пересечения с осями координат и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

18.С – себестоимость продукции, Q – объем произведенной продукции.

Предельная себестоимость (MC ) характеризует себестоимость прироста продукции.

Если существует непрерывная зависимость С от Q , то

Средние издержки:

Максимизация прибыли фирмы

Пусть известны функции дохода R от количества произведенной продукции Q и функции себестоимости произведенной продукции(затраты на производство).

Найдем экстремум этой функции:

Эластичность и ее свойства

Эластичностью ( коэффициентом эластичности) функции y = f (x ) в точке х₀ называется

Е_yx – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями у и x .

Свойства эластичности

1 . Эластичность произведения функций равна сумме эластичностей.

2. Эластичность частного функций равна разности

эластичностей.

3. Для функций y = f (x ) и x = g (t ) эластичность у по t может быть вычислена по формуле

Геометрический смысл эластичности

Эту формулу можно записать в векторном виде:

Эластичностью спроса по цене равняется

если E_qp мала, то процентное изменение спроса будет малым при достаточно больших процентных изменениях цен, и наоборот

Пусть D = D (p ) – спрос (в натуральных единицах) на некоторый товар при цене р . Так как при увеличении цены спрос уменьшается, то эластичность спроса E_D < 0.

Различают 3 вида спроса в зависимости от величины эластичности:

Если спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей выручки в противоположном направлении. Если же спрос неэластичен, то изменение общей выручки происходит в то же направлении, что изменение цены.

Закон убывающей эффективности производства

объем произведенной продукции V (K ) описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх