2. Первый замечательный предел:

3. Второй замечательный предел

12. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Точка х₀ называется точкой разрыва

функции f(x), если f(x) в точке х₀ не является непрерывной.

Точка х₀ называется точкой разрыва 1-го рода функции

f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не

равные друг к другу правый и левый пределы:

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀.

Тогда функции f(x) g(x), f(x) g(x) и f(x)/g(x) также

непрерывны в этой точке (последняя при g(x) 0).

13.Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции)Пусть функция f(x) непрерывна в точке х₀ и

f(x₀) 0. Тогда существует > 0 такое,что для всех х (х₀ – , х₀+ ) функция f(x) имеет тот же знак, что f(x₀).

Теорема (1-ая теорема Больцано-Коши)Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с(a,b), в которой f(с) = 0.

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) = A, f(b) = B. Пусть С – любое число, заключенное между А и В.

Тогда на отрезке [a, b] найдется точка с такая, что f(с) = С.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса)

Если функция f(х) определена и непрерывна на отрезке

[a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она

имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее

значения.

Понятие равномерной непрерывности функции

Функция f(х) называется равномерно-

непрерывной на промежутке Х, если для любого  > 0

существует  > 0 такое, что для любых двух точек х₁, х₂ Х,

удовлетворяющих неравенству |x₂ – x₁| < , выполняется

неравенство |f(х₂) – f(x₁)| < .

14.Производной функции y = f(x) в точке х₀ называется предел при х  0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).Касательная к кривой – прямая, имеющая с кривой единственную общую точку.

Определение. Касательной к графику функции y = f(x) в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой f(x).

Уравнения касательной и нормали к кривой

Уравнение касательной:

Уравнение нормали к кривой:

Теорема. Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии v(x)  0) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы

Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

15.Дифференциал функции f(x) в точке x₀ равен приращению, которое получает ордината касательной к кривой y = f(x) с абсциссой в точке x₀ при переходе из точки касания в точку с абсциссой x₀+Δx.

 Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x).

Производные высших порядков

Производная f '(x) функции y = f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Назовём f '(x) производной первого порядка функции f(x).

Производная от производной некоторой функции называется производной 2-го порядка (или второй производной) этой функции.

Производная от второй производной называется производной 3-го порядка (или третьей производной) и т.д.

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у''

Если x = (t) строго монотонна, то обратная функция t = F(x) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной t, называемый параметром: y = [F(x)].

Функция задана неявно, если она имеет вид f(x, y) = C.

Для нахождения производной y'_x заданной неявно функции нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y(x), а затем из полученного уравнения найти производную y'_x.