8.Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного последовательностей:

-Сумма(разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме(разности) пределов исходных последовательностей.

-Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов исходных последовательностей.

-Частное двух сходящихся последовательностей при условии отличия знаменателя от нуля есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов исходных последовательностей.

Основные теоремы о пределах

Т.1. (О предельном переходе в неравенстве )

Т.2. Сравнительный признак сходимости

9.Числовой ряд – сумма элементов бесконечной числовой последовательности:

Сходящийся ряд:

Свойства сходящихся рядов

1. Отбрасывание конечного числа членов не влияет

на сходимость.

2. Если ряд сходится и имеет сумму S , то сходится

также и ряд

причем сумма этого ряда равна S

3.Необходимое условие сходимости ряда )

Если ряд сходится, то

4.Если два ряда сходятся

то сходится и ряд

Достаточные признаки сходимости

Ряды с неотрицательными членами

Основное свойство : последовательность частичных сумм ряда является неубывающей

Необходимое и достаточное условие сходимости : Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

10.Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке,предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Односторо́нний преде́л--предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответствено левосторо́нним преде́лом(илипреде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом(преде́лом спра́ва).

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Бесконечно малая (величина)— числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина)— числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечностиопределённого знака.

Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

11.Основные теоремы о пределах

Т1. (О единственности предела)

Если функция f (x ) имеет предел в точке а , то этот предел единственный.

Т2. (О предельном переходе в неравенстве )

Пусть функции f (x ) и g (x ) определены на одном и том же промежутке Х и существуют пределы этих функций в т. а

Кроме того, существует такое число > 0, что для всех х из окрестности числа а f (x ) g (x ) . Тогда A  B .

Т3. (Об ограниченности функции имеющей предел)

Если функция f (x ) имеет конечный предел в точке а , то существуют числа М > 0 и  > 0 такие, что для всех х из - окрестности точки а

Т4. Пусть функции f (x ), g (x ) и h (x ) определены в некоторой окрестности точки а , за исключением, быть может, самой точки а , функции f (x ) и h (x ) имеют в точке а предел, равный А , т.е.

Т5. (Связь предела с алгебраическими операциями)

Пусть функции f (x ) и g (x ) имеют в точке а пределы В и С . Тогда функции f (x )  g (x ), f (x )  g(x ) и f (x ) /g (x ) (при С  0) имеют в точке а пределы, равные В  С , В  С и B/C соответственно.