1.Множество представляет собой определенную совокупность объектов, объединенных в единое целое в соответствии с некоторыми признаками и правилами. Множества обозначаются: A, B, C, X, Y, Z .

Предметы, составляющие множество, называют его элементами . Элементы множеств обозначаются: a , b, c , x , y , z .

Объединением множеств A и B называется множество,

каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из

множеств A или B :

Пересечением множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно и множеству А , и множеству В :

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А , не входящих во множество В:

Дополнением множества A называется разность

универсального множества U и множества А :

Свойства операций над множествами

1. Идемпотентность :

2. Коммутативность :

3. Ассоциативность :

4. Дистрибутивность :

5. Поглощение :

6. Свойства нуля:

7. Свойства единицы:

8. Инволютивность:

9. Правила де Моргана:

10. Свойства дополнения:

11. Выражение для разности:

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него кругов (или каких-либо других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы

соответствующих множеств.

2.Положительным действительным числом называется последовательность десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 с одной запятой между ними:

причем слева от запятой стоит конечное число цифр, отличных от 0.

Отрицательным действительным числом называется последовательность (1) со знаком « – » перед ней:

Отношение порядка на множестве R. Для двух положитель-ных действительных чисел

у которых до (n+1)-го разряда стоят одинаковые цифры, полагаем a < b тогда и только тогда, когда a_n+1 < b_n+1.

Свойства отношения порядка:

1. Если a < b, b < c, то a < c.

2. Если a < b, то c R такое, что a < c < b.

Число c называется точной верхней (нижней)

гранью множества A , если выполнены следующие условия:

1) a c (c a ) для всех чисел a A ;

2) для любого числа b < c (c < b ) найдётся число a  A такое, что b < a (a < b ) .

Точная верхняя (нижняя) грань множества A обозначается sup A (inf A ).

3.Каждая точка плоскости однозначно определяется своими координатами (x; y). Назовем комплексным числом z пару действительных чисел (x; y) (порядок важен) со следующими операциями:

1. Сложение. Если z₁ = (x₁; y₁), z₂ = (x₂; y₂), то

2. Умножение:

3.Вычитание комплексных чисел:

4.Деление комплексных чисел:

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Формулы Муавра:

Решение квадратного уравнения

Рассмотрим квадратно уравнение: az² + bz + c = 0 ,

a , b , c – комплексные числа и a  0 .Поделим уравнение на a :

Отсюда находим корни уравнения :

Пусть a , b , c – действительные числа и дискриминант D < 0. Тогда

Очевидно, что

4.числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел   или множества комплексных чисел  .

Аналитический способ:

Табличный

Графический

Описательный (словесный)

Основные свойства функций

Четность и нечетность:

Монотонность:

возрастающая (строго возрастающая)

Убывающая (строго убывающая)

Ограниченность

Периодичность:

Сложная функция (композиция функций) :

Обратная функция:

Основные элементарные функции :

Степенные

функции:

Показательные

функции:

Логарифмические

функции:

Тригонометрические

функции:

Обратные

тригонометрические

функции

5.Бесконечной числовой последовательностью называют функцию, заданную на множестве натуральных чисел N , с областью значений R .

Способы задания последовательностей:

Формула общего члена

Несколько членов последовательности

Рекуррентная формула:

Арифметическая прогрессия

- Геометрическая прогрессия

Словесный

Арифметические операции над последовательностями:

6.Число А называется пределом числовой последовательности {x_n} , если для любого положительного числа существует такой номер N = N( ) ( возможно зависящий от ), что все члены последовательности с номерами, принадлежащими N- окрестности , принадлежат окрестности точки А .

Основные свойства сходящихся последовательностей

Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Любая сходящаяся последовательность является ограниченной .

Если последовательность сходится, то сходится и любая ее подпоследовательность, и при том к тому же пределу.

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Критерий Коши.

7.Последовательность { n} , имеющая предел равный нулю , называется бесконечно малой .

Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А в A - окрестности бесконечности находятся все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера N , зависящего от А .

Т1. Последовательность (переменную величину), имеющую предел можно представить в виде суммы своего предела и некоторой бесконечно малой величины.

Т2. Если переменную величину x_n можно представить в виде суммы двух слагаемых: постоянного числа А и бесконечно малой величины, то числа А есть предел переменной величины x_n.

Т3. Сумма и разность двух бесконечно малых являются бесконечно малыми.

Т4. Произведение двух бесконечно малых – бесконечно малая.

Т5. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.