5.4. Метод Гаусса

Как следует из п.5.2, в модели динамики ЭЭС вида (5.3) подсистема алгебраических уравнений оказывается линейной. При решении нелинейных систем алгебраических уравнений на каждой итерации используется линеаризованная система алгебраических уравнений. В обоих случаях необходимо находить решение системы линейных алгебраических уравнений.

Методов решения систем линейных алгебраических уравнений имеется достаточно много. Каждый из них учитывает ту или иную специфику решаемой системы. В электроэнергетических задачах, в том числе при расчетах переходных электромеханических процессов в ЭЭС, наибольшее распространение получил метод исключения Гаусса, один из наиболее эффективных и универсальных методов, который и рассмотрим.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом (прямой ход) система уравнений

АХ=В, (5.19)

или более подробно 

= (5.20)

приводится к треугольному виду, на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных x_i из этой треугольной системы.

Запишем систему (5.20) в следующем виде:

(5.21)

Будем считать, что коэффициент а₁₁, который называют ведущим элементом первого шага прямого хода, отличен от нуля. (В случае а₁₁ = 0 поменяем местами уравнения с номерами 1 и i, где a_i10. Поскольку система (5.21) предполагается невырожденной, такой номер i заведомо найдется). Составим соотношения







(5.22)

и прибавим к i-му уравнению системы (5.21) (i = 2,3,...,n) первое уравнение, умноженное на m_i1. Проделав это, мы исключим неизвестное x₁ из всех уравнений, начиная со второго. Преобразованная система примет вид

(5.23)

Здесь  новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса. Основным результатом этого шага является подсистема (n-1)-го порядка с неизвестными x₂, x₃, …, x_n, образованная последними (n-1) уравнениями системы (5.23). Дальнейшим преобразованиям будем подвергать именно эту подсистему.

Переходя к выполнению второго шага прямого хода, предположим, что элемент , который называют ведущим элементом второго шага, отличен от нуля. (В противном случае необходимо произвести соответствующую перестановку уравнений аналогично предыдущему.) Составим соотношения







(5.24)

и прибавим к i-му уравнению системы (5.23) (i=3, 4, ..., n) второе уравнение, умноженное на m_i2. В результате получим систему

(5.25)

После (n-1)-го шага мы придем к треугольной системе

(5.26)

Второй этап  обратный ход метода Гаусса  реализуется следующим образом. Из последнего уравнения системы (5.26) определяем . По найденному значению из (n-1)-го уравнения определяем . Затем по значениям и из (n-2)-го уравнения находим и т.д. Последовательное вычисление неизвестных продолжается до тех пор, пока мы не определим из первого уравнения . На этом процесс решения заканчивается.

Отметим некоторые специфические особенности метода Гаусса, характерные и для задач ЭЭС. Одна из них заключается в погрешностях вычислений в результате округления чисел вследствие конечной длины разрядной сетки ЭВМ. Погрешности зависят в основном от величины ведущего элемента. На шаге исключения прямого хода метода Гаусса погрешности возрастают, если ведущий элемент мал по сравнению с другими коэффициентами строки матрицы А, соответствующей исключаемой переменной. Поэтому с целью снижения погрешностей вычислений производят специальный выбор ведущего элемента  перестановкой уравнений добиваются того, чтобы на данном шаге исключения в качестве ведущего элемента оказался наибольший коэффициент уравнения. Обычно в результате такой модификации метода удается существенно уменьшить погрешности вычислений из-за округления чисел. Остающиеся погрешности при необходимости могут быть устранены другими специальными приемами.

Еще одна особенность реализации метода Гаусса, в том числе для электроэнергетических задач, связана со слабой заполненностью матрицы А (т.е. матрица А содержит большое число нулевых элементов). В этом случае напрямую изложенный выше алгоритм прямого хода метода Гаусса использовать было бы нерационально (проводить вычисления с нулевыми коэффициентами). Разработаны алгоритмы исключения, оперирующие только ненулевыми элементами исходной и промежуточных систем уравнений. В этих алгоритмах важен порядок исключения с тем, чтобы минимизировать количество операций и требуемую память ЭВМ для промежуточных систем уравнений, а вместе с этим и величину погрешностей вычислений. Общим принципом является исключение в первую очередь тех переменных, которые связаны с меньшим числом других переменных.