5.3. Метод касательных (метод Ньютона)

Как было сказано в п.5.2, при численном интегрировании уравнений динамики ЭЭС приходится на каждом шаге интегрирования решать системы нелинейных алгебраических уравнений. Одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений и систем уравнений является метод касательных (метод Ньютона). Его идея очень проста, рассмотрим ее на примере одного уравнения.

Предположим, что функция f(x), имеющая корень c на отрезке [a, b], дифференцируема на этом отрезке и ее производная d f(x)/d t=  (x)не обращается на нем в нуль. Возьмем произвольную точку x_o (см. рис. 5.6) и запишем в ней уравнение касательной к графику функции:

y = f(x₀) + f (x₀) (xx₀) (5.11)

Графики функции f(x) и ее касательной близки около точки касания, поэтому естественно ожидать, что точка х₁ пересечения касательной с осью х будет расположена недалеко от корня с (рис. 5.6).

у

Рис. 5.6. Построение последовательности {x_n} по методу касательных.

a

x

x₁

x₂

x_o

c

b

Для определения точки х₁ имеем уравнение

f (х₀) + f  (х₀)(х₁х₀)=0. (5.12)

Таким образом,

_

_

. (5.13)

Повторим проделанную процедуру: запишем уравнение касательной к графику функции f(x) при x = x₁ и найдем для нее точку пересечения x₂ с осью х (см. рис. 5.6):

. (5.14)

Продолжая этот процесс, получим последовательность {x_n}, определенную с помощью рекуррентной формулы

_

(5.15)

которая и представляет метод касательных (метод Ньютона).

В случае системы нелинейных алгебраических уравнений вида

F(X)=0 (5.16)

речь идет о касательной плоскости в n-мерном пространстве Rⁿ, которая представляется матрицей частных производных порядка (nn) вида

(5.17)

называемой матрицей Якоби или якобианом. Обобщение рекуррентной формулы метода Ньютона (5.15) на многомерный случай будет иметь вид



. (5.18)

где J ^-1 – матрица, обратная J.

Cуществует теорема, доказывающая сходимость метода Ньютона при выполнении определенных условий, накладываемых на функцию F(X).

Важное значение имеет начальное приближение Х₀ для старта метода Ньютона. Рис. 5.6. иллюстрирует неудачное начальное приближение , когда касательная к функции f(x) в этой точке попадает на значение переменной , лежащее за пределами области определения функции.

Имеются модификации метода Ньютона, улучшающие его сходимость.

Следует отметить, что при использовании метода Ньютона для решения подсистемы нелинейных алгебраических уравнений вида (5.10) на шаге интегрирования вследствие малости шага t начальное приближение Х₀ обычно (кроме моментов времени, в которые происходит дискретное изменение параметров ЭЭС – к.з., отключение ЛЭП, генераторов, нагрузок и др.) оказывается близким к корню системы уравнений и итерационный процесс метода Ньютона сходится к решению за 1-2 итерации.

Более сложным является итерационный процесс метода Ньютона при определении доаварийного или послеаварийного режимов, когда проблема задания начального приближения становится более актуальной. Для ее решения разработаны различные приближенные алгоритмы.