4.6. Критерий а.В. Михайлова
А.В. Михайлов в 1938 г. предложил для оценки статической устойчивости принцип аргумента, известный из теории функций комплексного переменного. Поясним этот принцип.
Пусть
имеем многочлен в виде (4.13), приравненный
к нулю (характеристическое уравнение).
Корень
можно представить на плоскости корней
вектором с модулем
и соответствующим углом между
и осью абсцисс, при этом отсчет углов
выполняется против часовой стрелки
(см. рис. 4.4,а).
=+
=
а б
р
Рис. 4.4. Положения векторов, представляющих корни характеристического уравнения
Положим
,
т.е. направим вектор р
по мнимой оси. Тогда конец вектора
лежит на мнимой оси. При изменении
он скользит по мнимой оси (рис. 4.4, б).
При
изменении
от
до +
аргумент вектора
получает приращение, равное ,
если
,
и приращение, равное ,
если
Характеристический
многочлен
при
представляет собой характеристический
вектор
,
(4.20)
модуль и аргумент которого определяются как
,
(4.21)
(4.22)
Если
среди n
корней характеристического уравнения
корней лежат в правой полуплоскости, а
корней – в левой, то приращение
при изменении
от
до +
будет равно
.
(4.23)
Выражение (4.23) называется правилом аргумента.
Для
устойчивой системы
и из (4.23) имеем
.
(4.24)
Критерий А.В. Михайлова является геометрической интерпретацией правила аргумента, выполняемой следующим образом.
Вектор
можно представить как
.
(4.25)
При изменении от - до + вектор вращается против часовой стрелки и своим концом описывает кривую, называемую характеристической кривой или годографом характеристического уравнения. На рис. 4.5,а показана часть годографа при изменении от 0 до +.
Представим составляющие характеристического вектора в развернутом виде:
(4.26)
(4.27)
Поскольку
в
входят только четные степени ,
то
(4.28)
Поскольку
в
входят только нечетные степени
, то
(4.29)
С
учетом (4.28) видим, что годограф симметричен
относительно действительной оси (см.
рис. 4.5, б),
т.е. годограф устойчивой системы при
изменении
от 0 до +
повернется на угол
или на n
квадрантов.
4
4
5
4
4
5
4
5
v v
3
3
3
3
3
a б
2
1=0
u
u
+
-
Рис. 4.5. Годограф характеристического уравнения
На рис. 4.6 в качестве примера показан вид годографа устойчивой системы при n=5 и зависимости составляющих характеристического вектора от . На рис. 4.7, 4.8 представлены аналогичные кривые для неустойчивых систем при n=5.
б
u()
u()
v()
б
б
v u, v
2
a
a
a
●
v()
3
4
3
●
●
●
●
●
●
●
●
1
2
u
4
1=0
5
5
●
Рис.
4.6. Вид годографа устойчивой системы
при
и зависимости составляющих
характеристического вектора от
v
u,
v
2
●
2
1
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1
u
Рис. 4.7. Вид годографа неустойчивой системы при n=5, случай 1 (а), и зависимости составляющих характеристического вектора от
u()
v u, v
v()
5
5
●
●
●
●
●
1
●
●
●
●
1
4
3
2
3
4
u
2
Рис. 4.8. Вид годографа неустойчивой системы при n=5, случай 2 (а), и зависимости составляющих характеристического вектора от