4. Статическая устойчивость сложных электроэнергетических систем

4.1. Уравнения малых колебаний ээс

Исходная система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая динамику поведения ЭЭС при возмущениях, в общем виде может быть представлена как

(4.1)

где переменные x_i, , представляют, например, углы и скольжения роторов генераторов при описании динамики ЭЭС уравнениями движения генераторов и представлении каждого уравнения движения второго порядка двумя дифференциальными уравнениями первого порядка.

Поскольку рассматриваются малые колебания роторов генераторов под воздействием малых возмущений, исходные нелинейные дифференциальные уравнения (4.1) могут быть линеаризованы путем разложения правых частей (4.1) в ряд Тейлора и рассмотрения лишь первых членов ряда Тейлора. Тогда в отклонениях переменных система (4.1) превращается в следующую систему линейных дифференциальных уравнений

(4.2)

где  значение переменной в установившемся режиме, в котором исследуется статическая устойчивость ЭЭС.

В матричной форме записи система уравнений (4.2) выглядит как

(4.3)

или в компактном виде

(4.4)

4.2. Характеристическое уравнение

Анализ статической устойчивости ЭЭС связан с анализом свойств матрицы В. Введем необходимые определения.

Число  называется собственным значением (собственным числом) матрицы В, если существует такой ненулевой вектор , что

(4.5)

Любой вектор _i0, удовлетворяющий уравнению (4.5), называется собственным вектором матрицы В, соответствующим собственному значению _i. Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы В.

Для того, чтобы число  было собственным значением матрицы В, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

det(B)=0, (4.6)

где Е – единичная матрица, на главной диагонали которой единицы, а остальные элементы нулевые.

Функция det(B)=0 относительно параметра  есть многочлен, степень которого равна порядку матрицы В:

(4.7)

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы В. После приравнивания его нулю в соответствии с (4.6) это – характеристическое уравнение матрицы В. Корни характеристического уравнения, и только они, образуют спектр матрицы В.

Собственные значения (корни) и собственные векторы играют существенную роль при исследовании ЭЭС. Положение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости корней использовано А.М. Ляпуновым при формулировании его метода анализа устойчивости в малом (см. далее п. 4.3). Некоторые методы упрощения математических моделей ЭЭС основаны на анализе спектра матрицы В, а именно соотношений собственных значений. Собственные значения и собственные векторы матрицы В играют важную роль при выборе управлений в ЭЭС. Они составляют основу модального анализа (см. п.4.9).

4.3. Устойчивость в малом по а.М. Ляпунову

Исторически первое систематическое исследование свойств устойчивости уравнения (системы уравнений (4.1) при надлежит А.М. Ляпунову, который рассмотрел следующую задачу: если начало координат является точкой (положением) равновесия системы (4.1), т.е. f(0)=0 для всех t, и если система выведена из равновесия, останутся ли траектории процесса «близкими» к началу координат для всех последующих моментов времени. В геометрической форме эта ситуация представлена на рис. 4.1. Основная идея состоит в том, что, если процесс начинается в пределах небольших расстояний от начала координат, он должен оставаться внутри некоторого «канала», показанного на рис. 4.1 штриховой линией.

Несколько более сильное определение устойчивости отвечает требованию при , т.е. чтобы система в конечном счете возвращалась в положение равновесия. Такое определение соответствует понятию асимптотической устойчивости (согласно А.М. Ляпунову), в отличие от просто устойчивости, трактуемой так, как это сделано выше со ссылкой на рис. 4.1.

0

Рис. 4.1. Устойчивость по Ляпунову

Заметим, кстати, что приведенные выше стандартные определения устойчивости подразумевают, что заранее известно положение равновесия, в котором . Для сложных нелинейных систем, таких, как ЭЭС, положений равновесия достаточно много. Для ЭЭС это доаварийные (или послеаварийные) установившиеся режимы. Их определение составляет непростую самостоятельную проблему.

Теорема об устойчивости по первому приближению (статическая устойчивость в терминологии для ЭЭС), сформулированная А.М. Ляпуновым, дает следующие качественные характеристики устойчивости (рис. 4.2):

1) состояние равновесия асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. Это положение верно и в случае, если корни кратные;

2) если у хотя бы одного корня характеристического уравнения положительная действительная часть, то положение равновесия неустойчиво;

3) если характеристическое уравнение имеет один простой корень с нулевой действительной частью (т.е. два чисто мнимых сопряженных корня или один нулевой корень), то положение равновесия устойчиво, но асимптотической устойчивости нет;

4) если у характеристического уравнения два нулевых корня, то положение равновесия неустойчиво.

На рис. 4.2 p₁ и p₂, p₄ и p₅, p₈ и p₉ – пары комплексно сопряженных корней.

Решение для системы (4.4) можно записать в виде:



,

(4.8)

Это решение получается с использованием преобразования Лапласа. При этом действительному корню

соответствует в решении член

(4.9)

где – действительное число.

Паре комплексно сопряженных корней и соответствуют два члена в решении 

●

●

●

●

●

●

●



●

●

Рис. 4.2. Расположение корней на комплексной

плоскости

(4.10)

где и всегда (при любых начальных условиях) комплексно сопряженные

(4.11)

Поэтому (4.10) после некоторых преобразований можно записать в виде

(4.12)

г де

х

3

4

1

t

2

Рис. 4.3. Характер процесса во времени при разном расположении корней

На рис. 4.3 показаны особенности переходных процессов при различном расположении корней характеристического уравнения на комплексной плоскости корней, показанных на рис. 4.2: 1 – р₃; 2 – р₇; 3 – р₁, р₂; 4 – р₈, р₉. Случаи 1 и 2 соответствуют апериодически устойчивой и неустойчивой системе, а случаи 3 и 4 – колебательно устойчивой и неустойчивой, соответственно.