Вопрос 3. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной

Пусть в результате независимых наблюдений над количественным признаком Х из генеральной совокупности извлечена выборка объема n:

,

где .

Пусть генеральная дисперсия D_Г неизвестна и требуется найти ее оценку по данным выборки.

Если за оценку D_Г принять выборочную дисперсию D_В, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что D_В является смещенной оценкой D_Г, так как

.

Легко «исправить» выборочную дисперсию D_В так, чтобы М(D_В) было равно D_Г. Достаточно для этого умножить D_В на дробь  сделав это, получим исправленную дисперсию:

Исправленная дисперсия s² является несмещенной оценкой генеральной дисперсии D_Г, так как

Замечание

При достаточно больших значениях n объема выборки D_В и s² различаются незначительно. На практике исправленной дисперсией s² пользуются в том случае, если

n < 30.

Вопрос 4. Доверительные интервалы. Точность оценки. Надежность

О.4.1. Оценка, которая определяется одним числом, называется точечной.

Рассмотренные ранее оценки , D_В и s² являются точечными.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, то есть приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

О.4.2. Оценка параметра  называется интервальной, если она определяется двумя числами – концами интервала, который покрывает параметр .

Пусть ^* - оценка неизвестного параметра  ( - постоянное число, хотя  может быть и СВ).

Оценка ^* тем точнее определяет параметр , чем меньше | – ^*|. Другими словами, если  > 0 и

, (2)

то чем меньше , тем точнее оценка ^*.

Число  называется точностью оценки ^*.

Так как ^* - СВ, то и разность | – ^*| - СВ. Поэтому неравенство (2) при заданном  может выполняться только с некоторой вероятностью.

О.4.3. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки ^* параметра  для заданного  > 0 называется вероятность , с которой осуществляется неравенство (2).

Замечание

Обычно задается надежность  и определяется точность .

Пусть .

Так как  , то получим неравенство:

,

то есть вероятность того, что интервал (^*–; ^*+) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

О.4.4.Доверительным интервалом называется интервал (^*–; ^*+), который покрывает неизвестный параметр  с заданной надежностью .

Замечание

Границы доверительного интервала (^*–; ^*+) находятся по выборке и поэтому являются СВ в отличие от оцениваемого параметра  - величины неслучайной, поэтому правильнее говорить о том, что доверительный интервал «покрывает», а не «содержит» значение .

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман на основе идей английского статистика Р. Фишера.