11 Вопрос.

Логические основы

Для анализа и синтеза (создания) цифровых систем используется математический аппарат алгебры логики или булева алгебра.

Алгебра логики – это раздел математической логики, все элементы (функции и аргументы) которой могут принимать только два значения: 0 и 1, да и нет.

a, b, c . . . – высказывания или логические переменные.

Простейшие операции:

I. Операция отрицания ( операция НЕ , инверсия )

у = а

II. Логическое умножение ( операция И, конъюнкция )

у = ab,

III. Логическое сложение ( операция ИЛИ, дизъюнкция )

у = ab.

Старшей является операция инверсии, более младшей – операция конъюнкции, самой младшей – дизъюнкция.

ФАЛ (функция алгебры логики или булева функция)– алгебраическое выражение, содержащее элементы алгебры логики a,b,c…,связанные между собой операциями, определенными в этой алгебре.

Н апример: f (a, b, c) = a  b  c  a  a  c ;

Элементарной называется ФАЛ одного или двух аргументов, в логическом выражении которой содержится не более одной логической операции.

Например:

Для двух чисел A и B выполнить следующие операции:

a  b a  b a  b a + b

a  b a  b a  b a – b и b – a

Допустим a = 13₁₀ и b = 21₁₀

Представим их значения в двоичной системе счисления:

a 12³ + 12² + 02¹ + 12⁰ = 13  1101₂  01101 a = 10010

b 12⁴ + 02³ + 12² + 02¹ + 12⁰  10101₂ b = 01010

О перации a  b 01101 a  b 10010

10101 10101

11101 10111

a  b 01101 a  b¯ 10010

10101 01010

00101 00010

a  b = 11101 = 00010

a  b = 00101 = 11010

a + b 01101

10101

100010

+ 13₁₀ = 0 0 1 1 0 1₂ – 13₁₀ = 1 1 0 0 1 0 + 1 = 1 1 0 0 1 1₂

+ 21₁₀ = 0 1 0 1 0 1₂ – 21₁₀ = 1 0 1 0 1 0 + 1 = 1 0 1 0 1 1₂

b – a =b+(-a) ₊ 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1

1

0 0 1 0 0 0₂  + 8

a – b =a+(-b) ₊ 0 0 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0₂ дополнительный код

1 0 0 1 1 1₂ обратный код

+ 1

1 0 1 0 0 0₂  – 8