ПРИЛОЖЕНИЕ
Элементы комбинаторики
Комбинаторика – это наука о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих определенным условиям, можно составить на элементах конечного множества.
Чтобы проводить комбинаторные рассуждения необходимо знать основные правила, схемы и формулы комбинаторики.
Пусть
X
– конечное множество, а
– количество элементов в нем. Будем в
этом случае говорить, что объект x
из X
может быть выбран n
способами.
«Правило суммы»
Пусть
,
,
… ,
– попарно непересекающиеся множества,
т.е.
при
.
Тогда, очевидно, выполняется равенство
.
Этот факт в комбинаторике называется «правилом суммы».
«Правило произведения»
«Если
объект x
может быть выбран m
способами
и после каждого из таких выборов объект
y
в свою очередь может быть выбран n
способами, то выбор упорядоченной пары
может быть осуществлен mn
способами».
Доказательство.
Воспользуемся правилом суммы. Пусть
– множество элементов, из которых
выбирается объект x.
Для каждого
рассмотрим множества
,
в которых первая компонента совпадает
с
.
Множества
попарно не пересекаются и
.
Тогда множество всех пар
есть
и (по правилу суммы)
Замечание.
В общем случае правило
произведения
формулируется следующим образом: «Если
объект
может быть
выбран
способами, после чего объект
может быть выбран
способами и для любого i,
где
,
после выбора объектов
объект
может быть выбран
способами, то выбор упорядоченной
последовательности
может быть осуществлен
способами».
Доказательство проводится методом математической индукции.
Размещения и сочетания
Определение 1.
Набор элементов
, 
,…, 
из множества
называется выборкой
объема r
из n
элементов (или, иначе,
-выборкой).
Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан.
Замечание. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными.
Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядоченной.
В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.
Определение 2.
Упорядоченная
-выборка,
в которой элементы могут повторяться,
называется
-размещением
с повторениями.
Определение 3. Упорядоченная -выборка, элементы которой попарно различны, называется -размещением без повторений (или, иначе, -размещением).
Замечание.
-размещения
без повторений называются перестановками
множества X.
Определение 4.
Неупорядоченная
-выборка,
в которой элементы могут повторяться,
называется
-сочетанием
с повторениями.
Определение 5. Неупорядоченная -выборка элементы, которой попарно различны, называется -сочетанием без повторений (или, иначе, -сочетанием).
Замечание. Любое -сочетание можно рассматривать, как r-элементное подмножество n-элементного множества.
Пример 1. Пусть
,
т.е.
.
Найти какое-либо
-сочетание
без повторений.
Ответ:
например,
.
Пример 2. Пусть
.
Найти все
-размещения
и
-сочетания
(с повторениями и без повторений).
Ответ:
а) 
– множество всех
-размещений
с повторениями (9 упорядоченных
пар);
б) 
– множество всех
-размещений
без повторений (6 упорядоченных
пар);
в) 
– множество всех
-сочетаний
с повторениями (6 неупорядоченных
пар);
г) 
– множество всех
-сочетаний
без повторений (3 неупорядоченные
пары, являющиеся двухэлементными
подмножествами трехэлементного
множества).
Число
-размещений
с повторениями будем обозначать
,
а без повторений – через
.
Число перестановок n-элементного
множества будем обозначать через
(т.е.
).
Число
-сочетаний
с повторениями будем обозначать через
,
а без повторений – через
.
Теорема
1.
.
Доказательство. Каждое -размещение с повторениями является упорядоченной последовательностью длины r, причем каждый элемент этой последовательности может быть выбран n способами. По правилу произведения получаем
Теорема
2.
.
Доказательство.
Каждое
-размещение
без повторений является упорядоченной
последовательностью длины r,
члены которой попарно различны и
выбираются из множества с n
элементами. Тогда первый член этой
последовательности может быть выбран
n
способами, после каждого выбора первого
члена последовательности второй член
может быть выбран
способами и так далее до r-го
члена последовательности, который может
быть выбран
способами. По правилу произведения
получаем
Следствие.
Теорема
3.
.
Доказательство.
Каждое
-сочетание
без повторений можно упорядочить r!
способами. Объединение получаемых таким
образом попарно непересекающихся
множеств
-размещений
без повторений для всевозможных
-сочетаний
без повторений, даст все
-размещения
без повторений. Тогда
(здесь суммирование производится по
всевозможным
-сочетаниям
без повторений), т.е.
.
Отсюда
Теорема
4.
.
Доказательство.
Каждому
-сочетанию
В
с повторениями, составленного из
элементов множества
поставим в соответствие такой вектор
длины (
),
состоящий из r
единиц и (
)
нулей, что
число единиц находящихся между
-м
и i-м
нулями, где
,
будет равно числу элементов
,
входящих в сочетание В.
Число единиц, стоящих перед первым нулем
равно числу элементов
,
а число единиц, стоящих после
-го
нуля равно числу элементов
,
входящих в сочетание В.
Это соответствие между В и будет взаимно однозначным. Поэтому, чтобы подсчитать количество -сочетаний с повторениями, достаточно подсчитать количество векторов .
Количество
векторов
равно числу r-элементных
подмножеств (номеров единичных компонент
в этих векторах) (
)-элементного
множества (всех номеров компонент в
этих векторах), т.е. числу
-сочетаний
без повторений:
Пример 3. Пусть
,
,
,
–
-сочетание
с повторениями, тогда
.
Пример 4. Пусть
,
,
,
,
тогда
.