57. Напряженно-деформированное состояние при прямом поперечном изгибе.

57. Касательные напряжения при изгибе.

Рассмотрим условие равновесия элемента (рис. 5) составив для него уравнение статики :

откуда после несложных преобразований, учитывая, что

получаем формулу для касательных напряжений при нормальном поперечном изгибе призматического стержня которая называется формулой Журавского.

 

Рис.6. Распределение касательных напряжений по контуру прямоугольного сечения

 

   В этой формуле b_y — ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения, а статический момент, подставляемый в эту формулу, может быть вычислен как для верхней, так и для нижней части (статические моменты этих частей сечения относительно его центральной оси Ох отличаются только знаком, так как статическим момент всего сечения равен нулю).

   В качестве примера применения формулы Журавского построим эпюру касательных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.). Учитывая, что для этого сечения

получаем

где F=bh—площадь прямоугольника.

   Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратичеокой параболы, достигая максимума на нейтральной оси

   Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от простых видов деформации, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y (рис. 7), напряженное состояние является упрощенным плоским, при котором в окрестности произвольно выбранных точек поперечного сечения действуют нормальные и касательные напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек должно быть сформулировано на основе какого-либо уже известного критерия прочности.

   Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (рис. 7), а наибольшие касательные напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям

Рис.7 Распределение нормальных и касательных напряжений по контуру сечения

 

Рис.8. К сравнительной оценке модулей напряжения

 

   Покажем, что доминирующая роль в расчетах на прочность балки, подвергнутой поперечному изгибу, будет принадлежать расчету по нормальным напряжениям. Для этого оценим порядок max и max на примере консольной балки, показанной на рис. 8:

так как

Тогда

откуда max <<max , а поскольку то доминирующим в этом случае будет расчет по нормальным напряжениям и условие прочности, например, для балки из пластичного материала, работающей на прямой изгиб, как и в случае чистого изгиба будет иметь вид: