Контрольные вопросы и задания

1. Почему в определении вероятности количество попыток N → ? Зависит ли вероятность случайного события от числа проведенных однотипных опытов, в которых оно проявляется? Почему?

2. Мы наугад открываем страницу книги и наугад выбираем строку и номер буквы в ней. Можно ли считать случайным событием выбор конкретной буквы? Одинаковы ли вероятности «наткнуться» таким образом на различные буквы русского алфавита?

3. Известно, что в текстах на русском языке наиболее часто встречаемым символом является «пробел» (разделитель слов) - вероятность его появления составляет около 17%. На основании этих данных определите среднюю длину слова русского языка.

4. Какие исходы случайного события названы равновероятными? Как обосновывается равновероятность при решении практических задач?

5. Дайте определения дополнительным случайным событиям; приведите примеры. Получите формулу, связывающую их вероятности.

6. Какие случайные события называются независимыми? Совместными? Несовместными? К какой из этих категорий следует отнести дополнительные события?

7. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет сумма очков, делящаяся на 3?

8. Какова вероятность того, что при бросании 2-х игральных костей

(a) выпадет сумма очков, делящаяся на 3?

(b) первой выпадет «1»?

(c) выпадут две одинаковые цифры («пара»)?

(d) выпадет хотя бы одна «6»?

9. При бросках монеты 3 раза подряд выпадала «решка». Какова вероятность того, что

(a) в 4-м броске снова выпадет «решка»?

(b) выкинуть «решку» 4 раза подряд?

10. В доме 8 этажей (выше 1-го), на каждом живут по 10 человек. Я живу на 5-м этаже. Человек садится на 1-м этаже со мной в лифт и едет наверх. Найти вероятность того, что:

(а) человек живет на моем этаже?

(b) человек живет на следующем этаже?

(c) человек живет выше меня?

(d) человек не живет на моем этаже?

11. Докажите следующее утверждение: если имеются дополнительные события А и , а также некоторое событие B то справедливо соотношение: (A v В) ^ ( v B) = В.

12. На соревнованиях по стрельбе на мишенях нанесены области с очками 0-2-6-10. Стрелки А и В сделали по 100 выстрелов и показали следующие результаты:

Кого из них следует признать более метким стрелком?

13. В чем отличие условной и безусловной вероятностей? Можно ли считать безусловную вероятность предельным случаем условной?

14. Приведите пример ситуации со случайными связанными событиями А и B, когда выполняются соотношения: р_А(В) > р(В) и р_А(В) <р(В).

15. Докажите свойства условной вероятности 2 - 4 в п.А.3.

16. Докажите, что р(А)-р_А(В) = р(В)-р_B(А).

17. Докажите, что р(В) = р(А)-р_А(В) + р(А) - р_A(В). (Рекомендация: воспользуйтесь соотношением из задания 11).

18. Решите задачу из примера А.6 для черного шара.

19. В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Случайным образом и без возврата извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что:

(a) будут вынуты 2 белых шара?

(b) будут вынуты 2 черных шара?

(c) будут вынуты 1 белый и 1 черный шар (в любой последовательности)?

(d) будет вынут сначала черный, а затем белый шар?

20. Из колоды 36 игральных карт случайным образом выбирают 5. Какова вероятность:

(a) получить «пару» - две карты одинакового значения (2 семерки, например)?

(b) получить все карты одинаковой масти?