Приложение а. Элементы теории вероятностей

Рассматриваются лишь те положения теории вероятностей, которые используются в изложении основного материала, в частности, гл. 2.

А.1. Понятие вероятности

В естественных науках изучаются явления, исход которых определяется однозначными причинно-следственными связями, выраженными с помощью математического понятия аргумент-функция. Например, электросопротивление цепи и напряжение на ее концах однозначно задает силу тока, что является сутью закона Ома. Причем, сколько раз не повторялся бы опыт, результат измерения силы тока окажется одинаковым (в пределах погрешности измерений).

Однако часто приходится иметь дело с явлениями, исход которых неоднозначен и зависит от факторов, которые не знаем или не можем учесть. Простейший и традиционный пример - предсказание результата бросания монеты, т.е. выпадение «орла» или «решки». Подобной же оказывается ситуация с выигрышем по лотерейному билету, получением определенной карты в карточных играх, попадание в цель при стрельбе, результат спортивной встречи, количество пассажиров в автобусе и пр.

Явления, исход которых не может быть однозначно определен до того, как они произошли, называются случайными.

Раздел математики, в котором строится понятийный и математический аппарат для описания случайных событий, называется теорией вероятностей. Количественное описание случайных событий опирается на то, что при многократном повторении явления с неоднозначным исходом в одних и тех же условиях частота появления некоторого результата остается приблизительно одинаковой. Будем называть отдельный повтор случайного явления опытом, а интересующий исход этого явления - благоприятным событием (или благоприятным исходом). Тогда, если N - общее число опытов, а N_A - количество благоприятных исходов случайного события А, то отношение

будет показывать долю благоприятных исходов в проведенной серии опытов или относительную частоту появления благоприятного исхода. Однако в разных сериях при небольшом количестве опытов в каждой значение частоты может оказаться различной. Например, в серии из 3 опытов по бросанию монеты 2 раза выпал орел и 1 решка. Если благоприятным исход считать выпадение орла, то частота получается равной 2/3. В другой же серии из трех опытов результат может оказаться совершенно иным, например, все 3 раза выпадет решка и, следовательно, частота появления орла оказывается равной 0. Частота стремится к некоторой определенной (и постоянной) величине только в том случае, если количество опытов будет велико, в предельном случае стремиться к бесконечности. Это величина и называется вероятностью случайного события А:

Данное определение вероятности называется частотным; оно применимо для возможных исходов, образующих дискретный (конечный) набор. Существуют и случайный события, имеющие непрерывный ряд возможных исходов, например, значение скорости молекулы газа или время ее пребывания в некоторой области пространства; для таких событий используется иное определение вероятности. Будем иметь дело только с дискретными событиями и пользоваться приведенным выше определением.

Безусловно, различные события имеют разную вероятность. Можно считать, что значение вероятности характеризует событие и, в то же время, является его функцией; по этой причине будем придерживаться обозначения р(А).

Альтернативой случайному событию является событие, относительно которого точно знаем, что оно произойдет (например, наступление дня после ночи) - такие события будем называть достоверными. Достоверное событие можно рассматривать как предельный случай события случайного - для него в любом опыте N_A - N и, согласно (А.1), р(А) = 1. Наоборот, события, которые никогда не могут произойти - будем называть их невероятными (например, вынуть красный шар из урны с белыми и черными) - имеют всегда N_A = 0 и, следовательно, р(А) = 0. Таким образом, случайные события располагаются между невероятными и достоверными, а для их частотной характеристики - вероятности - очевидно, будет справедливо соотношение:

Полученное выражение называется условием нормировки вероятностей; в дальнейшем получим более общую форму его записи.

Безусловно, важной задачей является определение (или оценка) вероятности некоторого случайного события. Однако произвести практически бесконечное число опытов, что требует определение вероятности, конечно, невозможно. Поэтому приходится привлекать некоторые иные соображения. Рассмотрим ситуацию, когда случайное событие имеет несколько независимых исходов, но все они равновероятны, т.е. относительные частоты их наступления одинаковы. Пусть п - общее число равновероятных событий, которые обозначим А₁, А₂, ... А_п; вероятности их наступления будут, соответственно, р(A₁), р(А₂), ... р(А_п). Рассмотрим сложное событие А, для которого благоприятным окажется любой из исходов А₁, ... А_п; очевидно, такое событие будет достоверным (так как какое-то из перечисленных событий все равно произойдет) и, следовательно, вероятность сложного события р(А) = 1. С другой стороны, поскольку отдельные события независимы, т.е. наступление любого из них никак не связано и не обусловлено другими, каждое из них внесет свою лепту величиной р(A_i) в вероятность сложного события. Т.е.

Так как рассматриваются равновероятные события, очевидно

Следовательно, р(А) = п∙р = 1, откуда получаем, что вероятность любого из равновероятных событий будет равна:

Пример А.1

Конечно, для применения этой простой формулы необходимо доказать, что исходы равновероятны; такое доказательство выходит за рамки теории вероятности, однако является условием применимости ее соотношений. Часто для доказательства прибегают к соображениям симметрии или исходят из неких интуитивно ясных (но недоказуемых!) посылок. Например, принимается, что при условии однородности материала игрального кубика и правильности его геометрической формы равновероятно выпадение любой из граней.

Формулу (А.3) легко обобщить на ситуацию, когда благоприятное событие осуществляется несколькими способами (m) из п равновероятных (очевидно, т ≤ п). Например, выпадение четной цифры при броске кубика (n = 6, т =3). Тогда

Пример А.2

Какова вероятность вытащить из колоды 36 карт туза?

N = 36, т = 4, р = 1/9.

Какова вероятность достать красный шар из ящика с 10 шарами, из которых 5 красных, 3 зеленых и 2 черных? n = 10, т = 5, р = 1/2.