7.6. Проблема алгоритмической разрешимости

Всякому алгоритму соответствует задача, для решения которой он был построен. Обратное утверждение в общем случае является неверным по двум причинам: во-первых, одна и та же задача может решаться различными алгоритмами; во-вторых, можно предположить (пока), что имеются задачи, для которых алгоритм вообще не может быть построен.

Как уже отмечалось, термин «алгоритм» появился в математике достаточно давно и использовался долго - под ним понималась процедура, позволявшая путем выполнения последовательности определенных элементарных шагов получать однозначный результат, не зависящий от того, кто эти шаги выполнял. Таким образом, само проведенное решение служило доказательством существования алгоритма. Однако был известен целый ряд математических задач, разрешить которые в общем виде не удавалось. Примерами могут послужить три древние геометрические задачи: о трисекции угла, о квадратуре круга и об удвоении куба - ни одна из них не имеет общего способа решения с помощью циркуля и линейки без делений.

Интерес математиков к задачам подобного рода привел к постановке вопроса: возможно ли, не решая задачи, доказать, что она алгоритмически неразрешима, т.е. что нельзя построить алгоритм, который обеспечил бы ее общее решение? Ответ на это вопрос важен, в том числе, и с практической точки зрения, например, бессмысленно пытаться решать задачу на компьютере и разрабатывать для нее программу, если доказано, что она алгоритмически неразрешима. Именно для ответа на данный вопрос и понадобилось сначала дать строгое определение алгоритма, без чего обсуждение его существования просто не имело смысла. Построение такого определения, как уже знаем, привело к появлению формальных алгоритмических систем, что дало возможность математического доказательства неразрешимости ряда проблем. Оно сводится к доказательству невозможности построения рекурсивной функции, решающей задачу, либо (что эквивалентно) к невозможности построения машины Тьюринга для нее, либо несостоятельности любой (какой-либо) другой модели из представленных на рис. 7.3. Т.е. задача считается алгоритмически неразрешимой, если не существует машины Тьюринга (или рекурсивной функции, или нормального алгоритма Маркова), которая ее решает.

Первые доказательства алгоритмической неразрешимости касались некоторых вопросов логики и самой теории алгоритмов. Оказалось, например, что неразрешима задача установления истинности произвольной формулы исчисления предикатов (т.е. исчисление предикатов неразрешимо) - эта теорема была доказана в 1936г. Черчем.

В 1946—47 гг. А.А. Марковым и Э. Постом независимо друг от друга доказали отсутствие алгоритма для распознавания эквивалентности слов в любом ассоциативном исчислении.

В теории алгоритмов к алгоритмически неразрешимой относится «.проблема остановки»: можно ли по описанию алгоритма (Q) и входным данным (х) установить, завершится ли выполнение алгоритма результативной остановкой? Эта проблема имеет прозрачную программистскую интерпретацию. Часто ошибки разработки программы приводят к зацикливанию - ситуации, когда цикл не завершается и не происходит завершения работы программы и остановки. Неразрешимость проблемы остановки означает, что нельзя создать общий (т.е. пригодный для любой программы) алгоритм отладки программ. Неразрешимой оказывается и проблема распознавания эквивалентности алгоритмов: нельзя построить алгоритм, который для любых двух алгоритмов (программ) выяснял бы, всегда ли они приводят к одному и тому же результату или нет.

Важность доказательства алгоритмической неразрешимости в том, что если такое доказательство получено, оно имеет смысл закона-запрета, позволяющего не тратить усилия на поиск решения, подобно тому, как законы сохранения в физике делают бессмысленными попытки построения вечного двигателя. Вместе с этим необходимо сознавать, что алгоритмическая неразрешимость какой-либо задачи в общей постановке не исключает возможности того, что разрешимы какие-то ее частные случаи. Справедливо и обратное утверждение: решение частного случая задачи еще не дает повода считать возможным ее решения в самом общем случае, т.е. не свидетельствует о ее общей алгоритмической разрешимости. Роль абстрактных алгоритмических систем в том, что именно они позволяют оценить возможность нахождения полного (общего) решения некоторого класса задач. Для специалиста в области информатики важно сознавать, что наличие алгоритмически неразрешимых проблем приводит к тому, что оказывается невозможным построить универсальный алгоритм, пригодный для решения любой задачи (и, следовательно, бессмысленно тратить силы на его создание). К подобным проблемам приводят и попытки алгоритмизировать сложную интеллектуальную деятельность человека, например, обучение других людей, сочинение стихов и пр.