7.3.2. Алгоритмическая машина Поста

На самом деле, Пост, в отличие от Тьюринга, не пользовался термином «машина», а называл свою модель алгоритмической системой. Как принято в литературе, все же будем говорить о машине Поста, подчеркивая тем самым единство подходов обоих авторов [41].

Абстрактная машина Поста состоит из бесконечной ленты, разделенной на равные секции, а также считывающе-записывающей головки. Каждая секция может быть либо пуста (т.е. в нее ничего не записано), либо заполнена (отмечена - т.е. в нее записана метка). Вводится понятие состояние ленты как информация о том, какие секции пусты, а какие отмечены (по-другому: состояние ленты - это распределение меток по секциям, т.е. это функция, которая каждому числовому номеру секции ставит в соответствие либо метку, либо знак «пусто»). Естественно, в процессе работы машины состояние ленты меняется. Состояние ленты и информация о положении головки характеризуют состояние машины Поста.

Условимся обозначать головку знаком «» над обозреваемой секцией, а метку - знаком «М» внутри секции. Пустая секция никакого знака не содержит. За один такт (его называют шагом) головка может сдвинуться на одну секцию вправо или влево и поставить или удалить метку. Работа машины Поста заключает в переходе от одного состояния машины к другому в соответствии с заданной программой, которая строится из отдельных команд. Каждая команда имеет следующую структуру: хКу, где х - номер исполняемой команды; К - указание о выполняемом действии; у - номер следующей команды (наследника). Система команд машины включающая шесть действий, представлена в табл. 7.1.

Таблица 7.1.

Данный перечень должен быть дополнен следующими условиями:

• команда <хМу> может быть выполнена только в пустой секции;

• команда <хСу> может применяться только к заполненной секции;

• номер наследника любой команды (у) должен соответствовать номеру команды, обязательной имеющейся в данной программе.

Если данные условия не выполняются, происходит безрезультатная остановка машины, т.е. остановка до получения запланированного результата. В отличие от этой ситуации, остановка по команде <х стоп> является результативной, т.е. она происходит после того, как результат действия алгоритма получен. Кроме того, возможна ситуация, когда машина не останавливается никогда - это происходит, если ни одна из команд не содержит в качестве последователя номера команды остановки или программа не переходит к этой команде.

Еще одним исходным соображением является следующее: поскольку знаки любого конечного алфавита могут быть закодированы цифрами, преобразование исходного слова может быть представлено в виде некоторых правил обработки чисел. По этой причине в машине Поста предусматривается только запись (представление) целых положительных чисел.

Целое число k записывается на ленте машины Поста посредством k + 1 следующих подряд отмеченных секций, т.е. применяется унарная система счисления (см. п. 4.1). Соседние записи чисел на ленте разделяются одной или несколькими пустыми секциями. Ниже приведен пример записи чисел 0, 2 и 3.

Круг вычислительных задач, решаемых с помощью машины Поста, весьма широк. Однако как указывалось выше, на уровне элементарных шагов все сводится к постановке или удалению метки и сдвигу головки. В качестве примеров рассмотрим несколько задач, традиционно обсуждаемых при освоении машины Поста. Поскольку вид программы (последовательности команд машины) зависит от начального состояния машины, оно должно быть в явном виде указано в постановке задачи.

Пример 7.6

На ленте записано некоторое число, и головка обозревает одну из помеченных секций (любую). Составить программу прибавления единицы к этому числу. Ситуация иллюстрируется рисунком.

Программа, обеспечивающая решение задачи, состоит из 4-х команд:

Последовательное исполнение команд 1 и 2 приводит к тому, что головка за два такта работы машины сдвигается на одну позицию вправо. Это передвижение продолжается до тех пор, пока после очередного сдвига под головкой не окажется пустой ячейки - тогда по команде 3 в нее будет поставлена метка и по команде 4 машина остановится.

Пример 7.7

На ленте записано некоторое число, и головка обозревает одну из свободных секций (любую) левее записи. Составить программу прибавления единицы к этому числу.

Программа:

Комментарий к работе программы подобен приведенному выше с той лишь разницей, что метка ставится перед исходным числом.

Можно показать (это предлагается сделать в контрольных заданиях к данному разделу), что с помощью машины Поста реализуются (хотя и довольно громоздко) все арифметические действия над числами в унарной системе счисления*. Числа же, как было показано ранее, могут быть использованы для кодирования любой дискретной информации. В частности, состояние ленты можно представить словом в двоичном алфавите, где 0 будет соответствовать пустой секции, а 1 - отмеченной. В процессе работы меняется состояние ленты и, следовательно, от исходного слова происходит переход к выходному, представленному в том же двоичном алфавите.

* Машина Поста обеспечивает весьма неплохую и полезную практику программирования. Недостатком оказывается чисто теоретический (т.е. непроверяемый) характер программ, однако он достаточно легко преодолевается, если построить эмуляцию машины на каком-либо языке программирования.