4.2.5. Преобразование нормализованных чисел

Вещественное число X может быть представлено в двух формах - естественной и нормализованной. В естественной форме у X имеется целая и дробная части, между которыми помещается разделитель (запятая или точка), например 123,4567. Однако такая запись неудобна для слишком больших или, наоборот, слишком малых чисел. Кроме того, использование такой формы (она называется также «представление числа с фиксированной запятой») в компьютере вызвало бы снижение точности вычислений из-за необходимости приведения в соответствие разрядов обрабатываемых чисел и связанных с этим округлений или могло бы породить ситуацию, называемую переполнением, когда старший разряд числа не умещается в отведенной разрядной сетке. По указанным причинам вещественные числа в компьютере представляются в нормализованном виде (другое название - «представление числа с плавающей запятой»), главным достоинством которой является автоматическое масштабирование числа на каждом этапе обработки, что, с одной стороны, обеспечивает максимально возможную точность вычислений, а с другой - избавляет от необходимости принимать меры по предотвращению переполнения (за исключением достаточно экзотических ситуаций с выходом числа за отведенную разрядную сетку). По сути, это универсальная форма записи всех чисел, кроме определенных как «тип: целые» (например, Integer, Word или Byte в PASCAL'e).

Сначала познакомимся с необходимыми понятиями применительно к 10-ной системе счисления.

Число Х₁₀ называется нормализованным, если оно представлено в виде Х₁₀ = ± M₁₀ ∙ 10^±k10.

В этой записи М₁₀ называется мантиссой нормализованного числа; значения мантиссы лежат в интервале 0,1 ≤ М₁₀ ≤ 1. k₁₀ называется порядком нормализованного числа - это целое положительное десятичное число. Примеры: -1234₁₀ = -0,1234∙10⁴; 0,03456₁₀ = 0,3456∙10^-1.

Понятие нормализованного числа следует отличать от понятия числа в нормальной форме; данная форма достаточно часто используется при записи чисел в математике, физике, технических дисциплинах и отличается от нормализованного представления тем, что мантисса лежит в интервале 1 ≤ M₁₀ < 10, например, k_Б = 1,38∙10^-23.

При нормализации происходит расчленение «составляющих» числа с выделением знака числа, мантиссы, знака порядка и порядка - как будет показано ниже, это создает определенные удобства при хранении и обработке чисел в компьютере.

Аналогично нормализации десятичного числа можно в нормализованной форме представить и число в произвольной системе счисления р:

При этом значения мантиссы лежат в интервале р^-1 ≤ М_р < 1 (т.е. первая значащая цифра мантиссы всегда ненулевая), а показатель степени представляется в системе р (k_p). Например, для р = 2:

Мантисса располагается в промежутке 0,1₂ ≤ М₂ < 1, что соответствует десятичному интервалу 0,5₁₀ ≤ M₁₀ < 1.

Подобно задаче о преобразовании целых и дробных чисел, можно поставить задачу о преобразовании представления числа в нормализованной форме в системе счисления р к нормализованному представлению в системе q. Практическое значение такого преобразование состоит в том, что, как было сказано, в компьютере все вещественные числа хранятся и обрабатываются в нормализованном двоичном представлении и, следовательно, при их вводе осуществляется перевод Х₁₀ → Х₂, а при выводе - обратный перевод Х₂ → Х₁₀. Однако прежде, чем обсуждать такой перевод, необходимо рассмотреть, как производится преобразование вещественного числа из естественной формы к нормализованному виду.

При нормализации различаются ситуации Х_р > 1 и Х_р < р^-1. В первом случае для нормализации необходимо перемещать разделитель разрядов влево по числу до тех пор, пока не исчезнет целая часть числа, но первая цифра после разделителя будет ненулевой; каждое перемещение разделителя на 1 разряд влево эквивалентно делению числа на р и, чтобы число не менялось, показатель должен возрастать на единицу при каждом сдвиге. Если обозначить эту операцию N_← (будем называть ее «нормализация влево»), то N_←[(123,45)₁₀] = 0,12345₁₀∙10³; N_←[(23,4∙10⁵)₁₀] = 0,234₁₀∙10⁷; N_←[(1212,2)₃] = 0,12122₃∙3¹¹. Аналогично можно ввести операцию «нормализация вправо» (N_→), обеспечивающая нормализацию чисел меньших р^-1; очевидно, такие числа необходимо умножать на р с одновременным уменьшением показателя на 1 до тех пор, пока первая цифра после разделителя станет ненулевой. Например, N_→[(0,000101∙2^-101)₂] = 0,101∙2^-1000; N_→[(0,000987)₁₀] = 0,987₁₀∙10^-3. Общий алгоритм нормализации можно изобразить в виде блок-«нормализация вправо» (N_→), обеспечивающая нормализацию чисел меньших р^-1; очевидно, такие числа необходимо умножать на р с одновременным уменьшением показателя на 1 до тех пор, пока первая цифра после разделителя станет ненулевой. Например, N_→[(0,000101∙2^-101)₂] = 0,101∙2^-1000; N_→[(0,000987)₁₀] = 0,987₁₀∙10^-3. Общий алгоритм нормализации можно изобразить в виде блок-схемы на рис. 4.4.

При практической реализации данного алгоритма не следует забывать, что изменение значения k_p на 1 должно производиться по правилам арифметики системы счисления р. В дальнейшем при необходимости проведения нормализации в ходе каких-либо преобразований будем просто ссылаться на приведенный алгоритм как готовый модуль.

Вернемся к задаче перевода нормализованного числа из одной сиcтемы счисления в другую. Пусть, имеется число Х_р = ±М_р ∙ р^±kp для которого необходимо найти соответствующее ему X_q = ±M_q ∙ р^±kq . Представляется достаточно очевидным, что преобразование не затронет знаков мантиссы и показателя степени. Таким образом, для осуществления преобразования необходимо установить соответствие между (М_р, k_p) и (M_q, k_q). Оно получается достаточно просто, исходя из того, что Х_р = X_q, откуда следует:

Из (4.13) вытекает, что для осуществления преобразования можно М_р умножить на р_kp , т.е. перейти к естественной форме числа в системе р, перевести его в систему q, а затем нормализовать. Однако в таком варианте действий теряется точность числа и возможно переполнение на промежуточных этапах преобразования. Во избежание этого необходимо чередовать умножение (или деление) на р и нормализацию по основанию q. При этом, поскольку все операции выполняются по правилам арифметики в системе р, будут получены не (M_q, k_q) в окончательном варианте, а их представления в системе р - обозначим их (M_q)_p и (k_q)_p, которые затем нужно будет перевести в систему q. Различаются также ситуации k_p ≥ 0 и k_p < 0 - в первом случае необходимо умножать начальное и промежуточные значения мантиссы на р и для нормализации делить на q, во втором - наоборот. Каждый раз при умножении или делении на р показатель k_p будет менять свой значение на 1; продолжать действия следует до тех пор, пока не выполнится условие k_p = 0. Алгоритм действий для ситуации k_p ≥ 0 представлен на рис.4.5.

Пример 4.8

Выполнить преобразование Х₁₀ =16,5₁₀ → X₂.

Перевод можно осуществить отдельно для целой и дробной части, а затем их объединить - этот результат послужит эталоном для проверки нового алгоритма. Легко получить, что 16₁₀ = 10000₂, а 0,5₁₀ = 0,1₂; следовательно, 16,5₁₀ = 10000,1₂ = (0,100001∙2¹⁰¹)₂.

Алгоритм Rеаl_1 начинает функционировать после нормализации исходного числа; для этой цели можно воспользоваться алгоритмом Normа, в результате начальными значениями будут М₁₀ = 0,165; k₁₀ = 2. Результаты операций будем заносить в таблицу:

Окончательно имеем: Х₂ = (0,100001∙2¹⁰¹)₂.

Подобным же будет алгоритм преобразования Х₁₀ → Х₂ и при k_p < 0.

Последовательность действий при обратном переводе Х₂ → Х₁₀ отчасти противоположна только что рассмотренной; для k_p ≥ 0 она представлена в виде блок-схемы на рис.4.6. Нормализация в конце (после k = 0) производится при необходимости.

Пример 4.9

Выполнить преобразование: Х₂ = (0,11∙2¹¹⁰)₂ → Х₁₀

Для контроля результата: 0,11₂ = 0,75₁₀; (2¹¹⁰)₂ = (2⁶)₁₀ = 64; следовательно, (0,11∙2¹¹⁰)₂ = 0,75∙64 = 48₁₀. Для преобразования воспользуемся построенным алгоритмом Real_2. (рис. 4.6). Промежуточные результаты снова будем заносить в таблицу:

Таким образом, получаем: (0,11∙2¹¹⁰)₂ = 0,48∙10² = 48.

Как и в предыдущем преобразовании, алгоритм в случае k_p < 0 будет отличаться только тем, что число в процессе перевода необходимо делить на q и умножать на р.