33. Однозначные ветви многозначной функции и ее поверхность Римана.

Рассмотри функцию . Функция является обратная по отношению к функций , как известно функция является многозначной, а именно бесконечнозначной.

Найдем область одноместности для функций . Пусть и тогда равенство т.к

<=>

Поэтому за область можно взять любую горизонтальную полосу шириной .

Как известно функция прямую переводит в луч плоскости . Отсюда следует, что полоса плоскости перейдет в плоскость с выбрашеной положительной, частью полюса. Эти функций рассмотрим как различных ветвей многозначн функция . Функция имеет очевидно множество ветвей, чтобы фиксировать какую-либо из этих ветвей достаточно лишь указать в какой из областей изменится .

Фиксируя какую-нибудь из ветвей , к-фиксированая, заставим точку описать замкнутую кривую и получим, что точка и являются точками разветления функций .

Совершая обороты мы никогда не вернемся к исходному значению. Точка наз разветвлением порядка или трансцендентной точкой ветвления.

34. Интеграл от фкп и его свойства.

П усть в области плоскость определена непрерывной функцией . Пусть -произвольная гладкая линия, лежащая в этой области с началом в точке и концом в точке .

Линия называется гладкой, если для неё можно указать параметрическое представление:

,

такое что функции имеют непрерывную производную 1-го порядка, которая не обращается одновременно в 0 на .

Разобьём линию на произвольное число частичных дуг с помощью точек расположенных в положительном направлении линии .

Обозначим через , -произвольную точку, расположенную на частичной дуге с началом в точке и концом в точке .

(1) - интегральная сумма.

Пусть . Заставим .

Докажем, что интегральная сумма (1) будет стремится к определённому конечному пределу независящему ни от способа разбиения кривой на частичные дуги, ни от выбора на них точек .

Введем обозначения: ; ; ; .

Тогда сумма (1) примет вид: (2)

Так как функция непрерывна, то непрерывными будут и функции и .

Очевидно, что если , то .

На основании известной теоремы из математического анализа обе суммы правой части равенства (2) стремятся соответственно к пределам: и .

Следовательно, левая часть равенства (2) также стремится к определённому пределу, когда .

Этот предел называется интегралом от функции вдоль линии и обозначается: .

И так имеем: (3)

Линия называется путём или контуром интегрирования.

Формула (3) даёт выражения интеграла по комплексному переменному, через 2 действительных КрИ-2.

Формулу (3) легко запомнить, если записать её формально в следующем виде: .

Свойства:

1. , где и обозначают один и тот же путь интегрирования проходимый соответственно в положительном и отрицательном направлении.

2. , где .

3. , где . Все эти свойства выполняются как следствия из известных свойств КрИ-2.

4. , здесь в правой части фигурирует КрИ-1, т.е. интеграл по длине дуги.

5. если для , - длина , то из 4) легко получить более простое, но менее точную оценку: .