15. Отображение .

Очевидно, что соответствие определяемое функцией является взаимно однозначной во всей расширенной комплексной плоскости .

Причём в нулевой точке соответствует точка , а точке соответствует .

Предположим , .

Т.к. , то .

Отсюда следует, что преобразование можно записать в виде: , (1)

О пишем из нулевой точки как центр окружность С радиусом .

При преобразовании (1) эта окружность переходит сама в себя, а именно каждая её точка преобразуется в ей симметричную точку, относительно действительной оси.

Далее преобразование (1) удобно разбить на 2 более простых:

(2) (3)

При преобразовании (2) точка находящееся внутри окружности С преобразуется в точку , находящуюся вне окружности и лежащую на продолжении отрезка , при этом произведение расстояний от точки 0 до отображённой первоначальной точек равно 1.

Такое отображение называется инверсией относительно окружности С, точки и переходящие одна в другую с помощью преобразования (2) называются симметричными относительно окружности С.

При преобразовании (3) каждая точка переводится в точку симметричную относительно действительной оси.

И так, преобразование с помощью функции , есть преобразование инверсии и зеркального отображения относительно действительной оси.

Это отображение сохраняет углы во всех точках плоскости , включая и точки и .

При этом под углом между 2 линиями при мы будем понимать угол образованный их образами в плоскости при , при отображении . Во всех остальных точках при и , поэтому отображение отображено во всей расширенной плоскости .

16. Дробно-линейная функция.

Под дробно-линейной функцией будем называть функцию (1), где -фиксированные комплексные числа, причём , т.к. в противном случае, для , будем иметь, что

т.е. и не зависит от .

Покажем, что дробно-линейное преобразование (1) является композицией выше рассмотренных элементарных преобразований. Действительно, если ,то и , где , имеем линейное преобразование, которое, как известно, состоит из преобразований поворота, подобия и параллельного переноса.

Если , то

.

Это отображение очевидно складывается из следующих элементарных отображений:

1. - параллельный перенос;

2. – инверсия и зеркальное отображение;

3. – поворот;

4. – подобие;

5. – параллельный перенос.

17. Конформность дробно-линейной функции.

Теорема: Каждая дробно-лин функ отображает расширенную комплексную плоскость взаимнооднозначно и конформно само на себя.

18. Параметры и инвариант дробно-линейного отображения.

Дробно-лин преобразов (1)

содержит 4 параметра . Независимыми будут только 3, поэтому чтобы определить эти параметры, а вместе с ними нужное дробно-лин преобраз необходимо иметь 3 уравнения между . Для этого можно потребовать напр, чтобы какие-то 3 точки плоскости перешли в некотр 3 точки плоскости , т.е.

(2). Исключим из (1) и (2) параметры . С этой целью рассмотрим разности:

Отсюда

(3) это и есть искомое дробно-лин преобраз переводящее точки плоскости в 3 точки плоскости .

Определение: Отношения наз двойным или ангармоническим отношением 4 точек.

Теорема: Ангармоническое отношение 4 точек сохраняется при дробно-лин преобраз,т.е. явл его инвариантом.

Теорема: Существ и единственно дробно-лин преобраз переводящее точки плоскости в 3 точки плоскости и оно определяется соотнош (3).