12. Геометрический смысл модуля производной.
Пусть есть функция аналитическая в некоторой области . Значение функции будем изображать точками плоскости , а точки - плоскости .
Кроме того будем считать, что положения направления осей и совпадают.
При движении точки в плоскости соответствующая ей точка будет описывать плоскости некоторую линию .
Пусть – произвольная точка области и пусть – данная линия со своим направлением, выходящая из точки и имеющая определённую касательную в этой точке.
В плоскости ей будет соответствовать некоторая линия выходящая из точки .
Предположим, что . Выясним геометрический смысл производной . Для этого предварительно представим комплексное число в тригонометрической форме: .
Выясним геометрический смысл (аргумента) производной и её модуля .
Возьмём произвольную точку на линии и обозначим через соответствующую ей точку на линии .
Очевидно, при стремлении точки по линии к точке соответствующая ей точка - к по линии . Причём и одновременно будут стремиться к нулю.
Т.к. , т.к. очевидно (1) (2)
Рассмотрим
теперь подробнее равенство (2): это
равенство можно записать и так:
(2)*
геометрически
обозначает длину вектора
,
а
- длину вектора
.
Равенство (2)* показывает, что отношения бесконечно малого расстояние между отображаемыми точками к бесконечно малому расстоянию между первоначальными точками не зависит от линии .
Из
этого следует, что
можно рассматривать как величину
масштаба в точке
при отображении
.
Этот масштаб обычно называют коэффициентом
растяжения в точке
.
Это и есть геометрический смысл модуля
производной
.
Т.к. зависит только от точки , и не зависит от направления линии , то коэффициент растяжения в данной точке будет одним и тем же не зависимо от направления.
Таким образам отображение с помощью аналитической функции , помимо консерватизма углов обладает ещё в каждой точке , где и свойствами постоянства растяжений, т.е. растяжением не зависящим от линии .
13. Понятиео конформных отображениях.
Определение 1: Отображение обладающее свойствами консерватизма углов и постоянства растяжений, называется конформным отображением 1-го рода.
Определение 2: Всякое отображение при котором углы сохраняются по величине, но направление отсчёта меняется на противоположное и обладающее свойствами постоянства растяжения, называется конформным отображением 2-го рода.
П
ример:
Конформное отображение 2-го рода.
14. Линейная функция.
Функция
вида
,
где
и
– некоторые комплексные числа, причём
,
будем называть линейной.
Очевидно,
что отображение даваемое этой функцией,
будет конформным по всей плоскости
комплексного переменного
,
т.к.
.
Причём это отображение будет взаимно однозначным. Рассмотрим 3 частных случая. Ради простоты будем считать, что плоскость и совмещены:
– параллельный
перенос;
П
ологая
.
Запишем
преобразование
в виде:
- формулы параллельного переноса осей
координат.
В этом случае точка переносится в точку на расстояние равное длине вектора и в направлении вектора .
– попорот;
;
;
Таким образам точка переходит в при помощи поворота на угол . Имеем преобразование поворота на угол около начала координат.
–
подобие;
;
;
;
А это есть преобразование подобие с центром в начале координат и коэффициентом подобия .
Общее линейное преобразование состоит из 3 выше указаных отображений. Действительно:
,
.
А это преобразование состоит из:
