3. Последовательность комплексных чисел.
Опр.
наз пределом последовательности, если
такое, что для
и пишут
или
при
.
Последовательность имеющий конечный предел наз сходящиеся.
Назовём
окрестность
точкой
внутренность круга с центром в точке
радиуса
(рисунок дорисовать).
Очевидно,
что точка
принадлежит
окрестности,
тогда и только тогда
.
Поэтому опр последовательность
можно придать следующую геометрическую
формулу.
Точка
наз пределом последовательности
,
если для любого
точки последовательности начиная с
некоторого номера попадают в
окрестности точки
. По скольку каждое комплексное число
характеризуется парой действительных
чисел, то последовательности
комплексных чисел соответствуют
и
действительные чисел.
Теорема.
Для того что бы последовательность
и
имела предел
необх и достат, что бы
и
=b
Док-во.Пусть
тогда для
Такое,
что для
Замечение. Это теорема позволяет перенести всю теорию пределов последовательности действительных чисел на последовательность комплексных чисел.
Пример.
Найти
4. Бесконечность и стереографическая проекция.
Для
потребностей ТФКП к конечным комплексным
числам добавляют ещё одно бесконечное
комплексное число, которое обозначают
символом
- это число наз бесконечностью или
бесконечно удаленной точкой.
Опр.
Последовательность
наз сходящийся к бесконечности, т.е
если
для
такое, что для
выполняются неравенство
при
.
Для комплексного числа бесконечность понятие мнимых частей, а также понятие аргумента яв-ся лишенное смысла.
Модуль
бесконечного числа -
.
Что бы дать простое геометрическое обоснование числа , будем изображать комплексные числа точками на сфере.
P
-полюс.
Сфера,
у которой выколота точка P,
яв-ся изображением совокупности всех
конечных комплексных чисел. Если
, т.е.
при
,
то изображающие точки чисел
на сфере не ограничено приближаются к
точке P.
Поэтому естественно точку Р принять за бесконечность, а соответствующую ей точку плоскости естественно наз бесконечно удаленной точкой плоскостью.
Какое
представление наз стереографической
проекцией с его помощью мы устанавливаем
взаимно однозначное соответствие между
всеми точками сферы и всеми точками
комплексной плоскости и включая её
бесконечно удаленную точку. Такую сферу
наз комплексно-числовой сферой или
сферой Римана. Преимущество представления
комплексных чисел на сфере состоит в
том, что здесь наглядно изображается
единство бесконечно удаленная точка
плоскости
.
Плоскостью комплексного переменного
вместе с мысленно присоединенной к ней
точкой бесконечность наз расширенной
комплексной плоскостью и
обозначается
.
Внешность любого круга с центром в начале координат наз окрестностью бесконечно удаленной точки.
5. Множества точек на плоскости.
наз
ограниченным,
если все его точки заключаются внутри
круга с центром в началом координат.
Точка
наз предельной для некоторого множества
,
если каждая её окрестность содержит
бесконечное множество точек принадлежащих
.
Множество наз замкнутым, если оно содержит все её предельные точки.
Точка
внутренней,
если существует окрестности этой точки
содержащая в
.
Множество состоящая только из внутренних точек наз открытыми множествами.
Точки предельные для открытого множества и не принадлежащие ему наз граничными.
Другими словами граничной точкой мн-ва наз такая точка, которая сама не принадлежит , но в любой окрестности, которой есть точки мн-ва .
Сов-ть всех граничных точек открытого мн-ва границей. Сама граница яв-ся замкнутым множеством.
Множество
наз связным,
если любые 2 точки
можно соединить линией
целиком лежащей в Е.
Открытое и связанное множества наз областью.
Множество
состоящее из области её границы наз
замкнутой
областью
и обозначается
.