50. Теорема Тейлора.

Теорема. Функция f(z) аналитическая внутри некоторого круга однозначно разлагается в этом круге в степенной ряд.

Замечание: Если функция f(z) является аналитической во всей комплексной плоскости C, то пологая =0 получим, что

f(z)= , |z|<

Вычислим производные различных порядков от элементарных функций , аналитические во всей комплексной плоскости, можно легко получить для них следующие сходящие во всей плоскости разложения:

+…+ = , |z|<

+ - +…+ + +…= , |z|<

+ - …+ + +…= , |z|<

51. Неравенство Коши для коэффициентов степенного ряда.

Теорема: Если степенной ряд f(z)= сходится в круге | |<R и изобр. в нем функцию f(z), модуль которой все время меньше М, то есть |f(z)|<M=const, то имеет место неравенство | |≤ , n=0,1,2,…

Доказательство: Воспользуемся интегральным выражением для коэффициентов степенного ряда

= , n=0,1,2,…. ,

где интегрирование ведется по окружности

Г:| |= <R

Оценивая | | находим

| |< , | |< , n=0,1,….

Так как последнее неравенство справедливо при то путем придельного перехода при окончательно находим | |≤ , n=0,1,2,… .

52. Теорема Лиувилля.

Теорема: Если функция f(z) является аналитической во всей комплексной плоскости и ограничена в ней по модулю, то она есть тождественная постоянная.

Доказательство: Действительно, в этом случаи разложение f(z)= имеет место во всякой точки z плоскости Z. Пользуясь неравенствами Коши для коэффициентов степенного ряда имеем, что | |≤ , n=0,1,2,… М=const, а R- сколь угодно большое может быть.

Следовательно имеем, что при n≥1

f(z) =const.

В качестве простого примера приложения теоремы Лиувилля приведем теорему высшей алгебры.

Теорема: Всякий многочлен P(z)= + + +…+ , (n≥1, )

Имеет по крайней мере один корень(ноль).

53. Свойства единственности аналитических функций.

Теорема: Если две функции f(z) и (z) аналитические в некоторой области G имеют равные значения на бесконечном множестве точек E этой области. E G, причем, множество E имеет по крайней мере одну придельную точку, лежащую внутри области G, то эти функции равны между собой всюду в области G, то есть f(z) (z) для z G.

54. Свойство единственности аналитических функций (доказать вторую часть)

Теорема: Если 2 функции аналитические в некоторой области G имеют равные значения на бесконечном множестве точек E G, причем мн-во E имеет по крайней мере хотя бы одну предельную точку, локальную в области G, то эти функции равны между собой всюду в этой области.

Д-во: Пусть область G произвольной формы и пусть точка является предельной точкой множества Е. Покажем, что наши функции имеют равные значения в произвольной точке z из G. Для этого соединим эти точки произвольной линией Г, лежащей в этой области. Обозначим через d>0 расстояние от линии до границы области. Очевидно, что тогда круг радиуса d/2 будет целиком принадлежать нашей области. Заставим центр круга радиусам d/2 непрерывно двигаться по линии Г от точки к точке. Тогда наши функции должны совпадать между собой внутри движущегося круга. Функции будут равны.