47. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций (доказать вторую часть).

Теорема: Пусть функции являются аналитическими в некоторой области , а ряд (1) сходится равномерно во всякой замкнутой подобласти функции , тогда:

1.Функц. - явл. аналитической в обл.

2.

3.Ряд - сход. равномерно во всякой подобл.

Доказательство:

2)Окружим произвольную точку обл. кусочно-гладким замкнутым контуром целиком расположенном в обл. . Рассуждая как и при доказательстве 1-ой части приводим к выводу, что равномерная сходимость ряда (2) не нарушится, если умножить на функцию: , ограниченную по модулю на . Получим . Интегрируя ряд (4) вдоль контура получим применяя интегральную формулу Коши для производных перепишем этот ряд в виде: (5)

Т.к. – произвольная точка обл. то 2) доказано.

48. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций (доказать третью часть).

Теорема: Пусть функции являются аналитическими в некоторой области , а ряд (1) сходится равномерно во всякой замкнутой подобласти функции , тогда:

1.Функц. - явл. аналитической в обл.

2.

3.Ряд - сход. равномерно во всякой подобл.

Доказательство:

3)Докажем, что ряд (5) сходится равномерно во всякой замкнутой подобл. Построим в обл. замкнутый контур , содержащий внутри себя подобл. так, что . Обозначим через расстояние от контура до , тогда

. Очевидно, что функция явл. аналитической всюду в обл. . Поэтому имеет место соотношение:

,k=1,2,…

В силу равномерной сходимости ряда (1)

такое, что на имеет место неравенство: , – длина , тогда .

А это означает, что ряд сходится равномерно к замкнутой подобл. .

49. Приложение теоремы Вейерштрасса к степенным рядам.

Рассмотрим степенной ряд (1)

радиус сходимости которого .

Как известно степенной ряд сходится равномерно во всяком замкнутом круге: , с другой стороны все члены этого ряда явл. аналитические функции во всей комплексной плоскости, следовательно на основании теоремы Вейерштрасса сумма ряда (1) есть аналитическая функция внутри круга сходимости, и степенной ряд (1) в своём круге сходимости можно почленно дифференцировать сколько угодно раз:

(2)

Нетрудно показать пользуясь формулой Коши-Адамара, что радиус сходимости (3) при совпадает с радиусом ряда (2). Пологая в (2) и (3) находим, что , т.е. следовательно (2) запишется: Степенной ряд (2) записанный в виде (4), т.е. коэффициент которого вычисляется по формуле наз. рядом Тейлора функции . Т.о. доказана следующая теорема: Всякий сходящийся степенной ряд, есть ряд Тейлора своей суммы.

Замечание: Формулы для вычисления степенного ряда (2) можно записать очевидно и в таком виде: , где - произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур целиком лежащий внутри круга сходимости ряда (2) и содержащий внутри себя точку . Последние формулы дают интегральное выражение для коэффициента степенного ряда (2).