40. Интеграл типа Коши.

Пусть Г – произвольная кусочно-гладкая линия замкнутая или незамкнутая и пусть функция, непрерывная на . Пусть выражение (1)

Выражение (1) имеет определённое значение в каждой точке , не лежащей на линии . Следовательно оно определяет однозначно функцию во всех точках . Если есть замкнутая линия и функция аналитична как внутри , так и на , то выражение (1) равно , если и равно 0, если .

В этом случае выражение (1) наз ИНТЕГРАЛОМ КОШИ. Естественно (1) при общих выше указанных предложениях назвать интегралом типа Коши.

Теорема: Функция , определённая интегралом типа Коши (1) имеет в каждой точке , лежащей вне производные всех порядков, для которых имеет место формула

(не f(z), а f(3) )

41. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.

Теорема: Каждая функция аналитическая в области имеет производные всех порядков этой области, т.е. бесконечно дифференцируема в ней.

Доказательство:

П усть - точка области , - кусочно-

гладкий, окружающий т. и лежащий вместе со своими точками области . Применяя интегральную теорему Коши имеем, что

(не f(z), а f(3) )

Эти формулы наз. Интегральными формулами Коши для производных.

При , получили интегральную формулу Коши. Из доказанной теоремы следует, что любая производная аналитической функции есть функция аналитическая.

42. Обращение интегральной теоремы.

Теорема Мореры: Если функция , непрерывная в односвязной области , для всякого кусочно-гладкого замкнутого контура , лежащего в этой области удовлетворяет равенству , то есть функция, аналитическая в области .

Доказательство:

В самом деле, при условиях этой теоремы не зависит от пути, соединяющего точки и в области и определяет функцию , аналитическую в области , причём .

На основании теоремы о Бесконечная дифференцируемость аналитической функции , как и производная аналитической функции есть функция аналитическая, поэтому - аналитична в области .

43. Числовые ряды.

Пусть - последовательность комплексных чисел. Выражение (1) наз рядом. Числа - его членами , а суммы наз n-ми частичными суммами ряда (1).

Если последовательность - сходится, то ряд (1) наз сходящимся, а наз суммой ряда (1). Если последовательность -0 расходится, то ряд (1) наз расходящимся.

Легко установить, что если ряд (1) сходится, то (НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ) . Заметим, что , поэтому соотношение эквивалентно двум соотношениям: и .

Отсюда следует, что сходимость с комплексными членами эквивалентна одновременно сходимости рядов и .

Ряд (1) наз АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИМСЯ, если сходится ряд .

Теорема: Каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.

Доказательство: Действительно, пусть сходится ряд , где , т.к. и , то сходятся и ряды и , а значит сходится и ряд . Из двойственных равенств , вытекает, что абсолютная сходимость ряда эквивалентна абсолютной сходимости рядов и . Следовательно, на абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами переносится теорема о том, что произвольное изменение порядка членов не влияет на сумму ряда.

Судить об абсолютной сходимости ряда (1) можно на основании любого признака сходимости рядов с отрицательными членами, например признака Коши и Даламбера.