38. Неопределенный интеграл в комплексной области.

Из интегральной теоремы Коши вытекает следующее важное

Свойство: если f(z) аналитическая в односвязной области G, то значения интеграла взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой кривой Г принадлежит области G не зависит от линии Г, а определяется лишь положениями начальной и конечной точками этой линии.

Теорема: Функция f(z) непрерывна в односвязной области G для которой интегралы вдоль любых кусочно-гладких линий принадлежащих области G зависят только от начальной и конечной точек кривых. Тогда функция F(z)= dw является аналитической в области G, причем (z)=f(z)

Определение: Ф(z) – аналитическая в некоторой области G называется неопределенным интегралом или первообразной от функции f(z) в области G, если Ф`(z)=f(z) для z G.

Очевидно, что если f(z) удовлетворяет условием сформулированной выше теоремы, то функция Ф(z)= dw есть первообразная от f(z) в области G.

Можно показать, что любая первообразная от f(z) может быть записана в виде Ф(z)= dw+С, где С-комплексная постоянная. Пологая в этой формуле z= , получим, что Ф( )=С, тогда

dw= Ф(z)-Ф( ).

Полученный результат по формуле совпадает с известной формулой Ньютона-Лейбница и сводит вычисление интеграла от аналитической функции f(z) к исканию какой-либо ее первообразной.

Итак, ограниченая функциями аналитическими в односвязной области мы видим, что подобна обыкновенным интегралом интегрирование по комплекснай переменной можно рассматривать с двух точек зрения:

Как процесс суммирования.
Как действие обратное дифференцированию.

В заключении отметим, что оказываются справедливыми и все приемы вычисления интегралов , основанные на формуле Ньютона-Лейбница. Например: интегрирование по частям, замена переменной.

39. Интегральная формула Коши.

Пусть G есть односвязная область ограниченная произвольным кусочно-гладким контуром Г и пусть f(z) есть функция аналитическая в замкнутой области G, то есть аналитическая как внутри области G так и на ее границе Г.

Выведем интегральную формулу Коши f(z)= w, где z-любая точка внутри Г, а интегрирование по контуру Г ведется в положительном направлении.

Эта формула выражает значение аналитической функции внутри замкнутой кривой через значение той же функции на этой кривой.

Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию

(w)= (z-любая точка, но фиксированная)

Эта функция (w) является аналитической во всех точках w G кроме точки w=z.

Опишем из точки z как центра окружность произвольного радиуса целиком лежащую в области G. Тогда функция (w) будет аналитическая во всех точках, лежащих между контурами Г и включая и сами контуры. Следовательно, на основании интегральной теоремы Коши для составного контура будем иметь

dw= dw (1)

Равенство (1) показывает, что значения dw не зависит от радиуса вспомогательной окружности так как он равен постоянному числу dw.

Заметим далее, что функция к определенному приделу когда w z. Действительно, = =f’(z) так как f(z) аналитическая в G. Следовательно, если f’(z) принять за значения функции в точке w=z, то функция станет непрерывной всюду в замкнутой областиG , поэтому | |<M=const для всех w G.