35. Сведение вычисления интеграла от фкп к вычислению обыкновенного интеграла.

Для КрИ-2 взятого вдоль гладкой кривой , , . В курсе математического анализа выводится формула: .

Которая сводит вычисление КрИ-2 к вычислению обыкновенного интеграла. Поэтому: ,

, ,

и , .

Эта формула сводит вычисление комплексного интеграла к вычислению обыкновенного интеграла, от комплексной функции действительного переменного .

Пример: Вычислить интеграл , где проходимая против часовой стрелки.

Р ешение:

, где , ,

, , .

Отсюда в частности следует, что интеграл независит ни от точки , ни от радиуса .

36. Интегральная теорема Коши для простого контура.

Теорема: Если есть функция аналитическая некоторой односвязной области , то взятый вдоль любого кусочно-гладкого замкнутого контура , лежащего внутри области , равен 0, т.е. .

Доказательство: Может быть легко доказана при добавочном предположении, что производная –непрерывна в области .

Представим функцию в виде .

Так как функция –аналитична в области , то она непрерывна в этой области, а также удовлетворяет условиям Коши-Римана: ,

Поскольку по дополнительному требованию, –непрерывна в области и .

То непрерывными будут частные производные: -непрерывны в области .

Далее воспользуемся формулой Грина:

.

Так как ,

то в силу условий Коши-Риманавыражение стоящее под знаком двойных интегралов обращается в ноль, поэтому .

Замечание: В изложенном доказательстве существенным является предложение о непрерывности в области производной , однако это предложение не является обязательным для справедливости данной теоремы.

Интегральная теорема Коши справедлива и в первоначальной приведённой формулировке.

37. Интегральная теорема Коши для составного контура.

В этом случае полная граница области состоит из нескольких замкнутых кусочно-гладких линий таких, что каждая из линий лежит вне остальных, и все они расположены внутри .

Положительным направлением обхода полной границы многосвязной области , будем называть такое направление обхода, при котором область остаётся всё время слева.

При этом, внешний контур обходится в положительном направлении, а внутренний в отрицательном.

В качестве положительного обхода отдельно замкнутого контура будем принимать направления, при котором внутренняя область ограниченная данным контуром остаётся слева от направления движения.

Теорема: Пусть функция является аналитической в многосвязной области и на её границе . Тогда

, где .

Доказательство:Проведём вспомогательные гладкие кривые соединяющие контур с контурами , так чтобы эти кривые не имели бы попарно общих точек и содержались бы в области .

Тогда область ограниченная кривыми и кривыми проходящими дважды в разных направлениях, оказывается односвязной, поэтому интеграл по границе этой области в силу интегральной теоремы Коши для простого контура равен 0.

Но интегралы по вспомогательным линиям проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании, они выпадают, поэтому:

Замечание: Из последнего равенства следует, что

.

Пользуясь этим замечанием легко показать, что значение интеграла , .

Значение этого интеграла не зависит от формы пути интегрирования .