7. Общая х-ка гармонический колебаний. Гармонические осцилляторы (пружинный, математический и физ маятники, колебат контур)

Гармонические колебания- это простейшие гармонические колебания. – колебания, при к-ых колеблющаяся величина изменяется со временем по з-ну синуса или косинусов. Гармонические колебания описываются ур-ем: , где А – макс значение колеблющейся величины, наз амплитудой колебания, - циклическая частота, - нач. фаза колебания в момент времени t=0, - фаза колебания в момент времени t.

Гармоническим осциллятором наз система, совершающая колебания, описываемые ур-ем вида:

Пружинный маятник- это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы

формула периода справедлива , когда масса пружины мала по сравнению с массой тела

Потенциальная энергия пружинного маятника:

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

Если маятник отклонен от положения равновесия на нек-ый угол, то в соотв-ии с ур-ем динамики вращательного движения твердого тела, момент М возвращающей силы можно записать в виде:

- приведенная длина физического маятника

Точка подвеса О маятника и центр качаний О’ обладают св-вом взаимности: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физ маятника не изменится.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Момент инерции математического маятника , где l – длина маятника.

Период малых колебаний мат маятника:

Приведенная длина физ маятника – это длина такого мат маятника, период колебаний к-ого совпадает с периодом колебаний данного физ маятника.

Колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R

Полная энергия:

Согласно з-ну Ома: , где IR – напряжение на резисторе, - напряжение на конденсаторе, - эдс самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока. Следовательно,

Дифференциальное уравнения колебаний заряда q в контуре:

Заряд совершает гармонические колебания по з-ну:

Собственная частота контура: Период: - ф-ла Томсона

Сила тока в колебательном контуре: , где

Напряжение на конденсаторе: , где

Колебания тока опережают по фазе колебания заряда q на , т.е. когда ток достигает максимального значения, заряд обращается в нуль, и наоборот.

8. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Основные х-ки гармонических колебаний.

Ур-е гармонических колебаний где А – макс значение колеблющейся величины, наз амплитудой колебания, - циклическая частота, - нач. фаза колебания в момент времени t=0, - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебаний представляет собой угловую меру времени, прошедшего от начала колебаний.

Определенное состояние системы, совершающий гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, наз периодом колебаний, за к-ый фаза колебания получает приращение 2 , т.е. , откуда

Величина, обратная периоду колебаний - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, наз частотой колебаний

Запишем первую производные по времени- скорость колеблющейся точки:

Вторая производная - ускорение колеблющейся точки:

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний: , где

Решение этого ур-я -