36. Корпускулярно- волновой дуализм как универсальное св-во материи. Гипотеза и формула де Бройля

Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми св-вами. Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные х-ки – энергия и импульс, а с другой- волновые х-ки- частота и длина волны.

Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые св-ва частиц:

Любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

Представление о двойственной корпускулярно-волновой природе углубляется еще тем, что на частицы вещ-ва переносится связь м/у полной энергией частицы и частотой волн де Бройля: это свидетельствует о том, что соотношение м/у энергией и частотой имеет х-р универсального соотношения, справедливого как для фотонов, так и для любых других микрочастиц

37. Экспериментальные подтверждения гипотезы и формулы де Бройля

Опыты Девиссона и Джермерра. При заданном угле падения электроны отражаются от пов-ти кристалла под различными углами, причем в одних направлениях наблюдаются максимумы числа отраженных электронов, в других – минимумы, т.е. наблюдалась диф картина. Это явление наблюдается когда длина электронной волны де Бройля имеет порядок межатомного расстояния в кристалле. Длина волны , связанная с электронами, порядка длины волны рентгеновских лучей. Физ смысл волн де Бройля:квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке пр-ва явл-ся мерой вероятности обнаружить частицы в этой точке пр-ва.

38. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

квантовая механика раскрывает 2 основных св-ва вещ-ва: квантованность внутриатомных процессов и волновую природу частиц. Скорость света в вакууме явл-ся критерием, определяющим границу применимости классических з-нов, т.к. она явл-ся макс скоростью передачи сигналов.

Т .к. движущая частица обладает корпускулярно- волновым дуализмом, то одновременное точное определение координаты х и импульса р невозможно. Чем точнее определена координата ( ) тем менее точно определен импульс ( )

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка, называется принципом неопределенности Гейзенберга.

39. Состояние микрочастицы в квантовой механике. Волновая ф-ция и ее статистический смысл.

Состояние микрочастицы определяется волновой ф-ей

Св-ва волновой ф-ции: 1. - конечная непрерывная однозначная

2. непрерывны ее 3.

квадрат модуля волновой ф-ции имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нах-ния частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами (х,у,z)

40. Временное и стационарное уравнения Шредингера.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926г. Э.Шредингером. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид: Где , m-масса частицы, -оператор Лапласа ( ), i – мнимая единица, U-потенциальная энергия во внешнем силовом поле, - волновая ф-ция частицы( ). Уравнение справедливо для любой частицы, движущейся с малой скоростью( V<<c).Оно дополняется условиями, наклад. на волн. ф-цию: 1)волн. ф-ция должна быть конечной, однозначной и непрерывной, 2)производные от нее должны быть непрерывными, 3)ф-ция должна быть интегрируема. Это ур-ние явл. общим у-нием Шредингера (или зависящим от времени). Для многих физич. явлений у-ние можно упростить, исключить зависимость от времени, т.е. найти у-ние Шредингера для стационарных состояний – состояний с фиксиров. значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в к-ом частица движ., стационарно, т.е. U=U(x,y,z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенц. энергии. или , W – полная энергия.

4 1. Решение стационарного уравнения Шредингера для простейших систем. Частица в одномерной потенциальной яме. Принцип соответствия.

Проведем качеств. Анализ решений у-ния Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенц.яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенц. энергией вида

L-ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна.

У-ние Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде: . По условию задачи частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения за пределами «ямы» =0. На границах «ямы» непрерывная волновая ф-ция также=0. . В пределах «ямы» у-ние Шредингера сведется к , где . Общее решение: . Т.к. , то В=0, то . Условие выполняется только при , где n-целые числа, т.е. необходимо, чтобы . Из этих выр-ний: (n=1,2,3,…) и . Найдем постоянную интегрирования А: . В результате интегрирования: , а (n=1,2,3,…). Энергетич. интервал между двумя соседними уровнями При больших квантовых числах (n>>1) , т.е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается. Этот результат явл. частным случаем принципом соответствия Бора, согласно к-му законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классич. физики. Более общая трактовка принципа соответствия, Всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных предельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят при V<<c в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т.е. применять классическую механику Ньютона.

42. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы для одномерного движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины L можем записать

При данных условиях задачи классич. частица , обладая энергией W, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при W>U), либо отразится от него (W<U) и будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при W>U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразиться от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При W<U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x>L, т.е. проникает сквозь барьер. Подобные парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения у-ния Шредингера. У-ние Шредингера для стационарных состояний для каждой из выделенных областей (для обл. 1 и 3 ), (для обл. 2 )

Р ешения у-ний , , ( ). Частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины. Т.о., квантовая механика приводит к принципиально новому специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате к-го микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер. Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих.

Для плоского барьера

Где U – высота барьера,W-энергия частицы, L- ширина барьера,

Для произвольной формы

Прохождение частицы сквозь область, в к-ую, согласно законам классич. механики , она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса на отрезке составляет . Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

43. Атом водорода в квантовой теории. Энергетические уровни. Квантовые числа. Спин Принцип Паули. Структура электронных уровней в сложных атомах.

Р ешение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом (для атома водорода Z=1) .

1). Электрон связанный (W<0) (n=1,2,3,…)

2). Электрон свободный (W>0)

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и n=1,2,3,…

Момент импульса(механический орбитальный момент) электрона квантуется , где l-орбитальное квантовое число. l=0,1,…(n-1)

, где ml – магнитное квантовое число. ml=0, 1, 2,…, l. Магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число ml – ориентацию электронного облака в пространстве.

Уленбек и Гаудсмит – электрон обладает собственным неуничтоженным механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, спином. Спин электрона – квантовая величина, у нее нет классического аналога, это внутреннее неотъемлемое свойство электрона. , S-спиновое квантовое число . S=1/2

, mS – магнитное спиновое квантовое число. mS= 1/2

Принцип Паули: В данной системе тождественных частиц две любые из них не могут находится в одинаковых квантовых состояниях.

44. Спонтанное и вынужденное излучения. Лазеры.

Атомы могут нах-ся лишь в квантовых состояниях с дискретными значениями энергии Е1, Е2,… Ради простоты рассмотрим только два из этих состояний (1 и 2). Если атом нах-ся в основном состоянии 1, то под действием внешнего излучения может осуществиться вынужденный переход в возбужденное состояние 2 (рис.1), приводящий к поглощению излучения. Атом, находясь в возбужденном состоянии 2, может через нек-ый промежуток времени спонтанно, без каких-либо внешних воздействий, перейти в состояние с низшей энергией(основное), отдавая избыточную энергию в виде электромагнитного излучения.(испуская фотон с энергией ). Процесс испускания фотона возбужденным атомом без внешних воздействий наз. Спонтанным излучением. (рис.2) Если на атом, нах-ся в возбужденном

состоянии 2, действует внешнее излучение, то возникает вынужденный переход в основное состояние 1 с излучением фотона.(рис 3) При подобном переходе происходит излучение атомов фотона дополнительно к тому фотону, под действием к-го произошел переход. Возникающее в результате таких переходов излучение – вынужденное. Т.о., в процесс вынужденного излучения вовлечены два фотона: первичный фотон, вызывающий испускание излучения возбужденным атомом, и вторичный фотон, испущенный атомом.

Лазеры – усиление света с помощью вынужденного излучения. Они генерируют в видимой, инфракрасной и ближней ультрафиолетовой областях. Идея качественно нового принципа усиления и генерации электромагнитных волн, примененная в мазерах (генераторы и усилители, работающие в сантиметровом диапазоне радиоволн) и лазерах, принадлежит рос. Ученым Басову и Прохорову. Важнейшими из сущ. типов лазеров явл. твердотельные, газовые, полупроводниковые и жидкостные. Лазер имеет три основных компонента: 1). Активную среду, в к-ой создаются состояния с инверсией населенностей, 2). Систему накачки (устройство для создания инверсии в активной среде), 3). Оптический резонатор (устройство, выделяющее в пространство избирательное направление пучка фотонов и формирующее выходящий световой пучок). Свойства лазерного излучения: 1). Временная и пространственная когерентность. Время когерентности составляет 10-3с, что соответствует длине когерентности порядка 105м. 2). Строгая монохроматичность 3). Большая плотность потока энергии. 4). Очень малое угловое расхождение в пучке. Применяются: для обработки и микросварки твердых металлов, получение и исследование высокотемпературной плазмы, в измерительной технике, в голографии.

45. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике. Нулевая энергия.

Линейный гармонический осциллятор- система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы. Потенциальная энергия гармонического осциллятора , - собственная частота, m- масса частицы. Зависимость имеет вид параболы, т.е. «потенциальная яма» в данном случае явл. параболической.

Тогда стационарные состояния квантового осциллятора опред. у-нием Шредингера , Е- полная энергия.

- энергия квантового осциллятора принимает дискретные значения, квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками», минимальным значением энергии . Существование минимальной энергии – она наз. Энергией нулевых колебаний – является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.