10.3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

P_n(m)=P(_n=m) → Теорема: Если  есть число наступления события (число успехов) в n НЗ испытаниях, в любом из которых успех появляется с вероятностью р (0<p<1), то равномерно относительно a,b (-∞ab+∞) при n→∞ имеет место соотношение: . Доказательство: Обозначим через ;

Введем приращение: Δх_m =

Но таким образом ЧТД. То что мы доказали позволяет нам записать следующее P(ax£b)=Ф(b)–Ф(а), где Ф(х)= - функция Лапласа. Ее значения табулированы. Свойства ф-ии Лапласа: (1) Ф(–х)= –Ф(х) (2) Ф(х)→0,5 при х4,5

Ф(а)=Ф( ); Ф(b)=Ф( )

10.4. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаний.

используем интегральную теорему Муавра-Лапласа, которая позволяет оценить близость частоты и вероятности. 0<p<1 _n – общее число успехов. _n / n – частота успеха. Если n велико, то используя теорему Муавра Лапласа можно записать Итак, мы получили . Задача. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота m/n появления события отклонится от его величины не более чем на 0,04. Решение n=625 p=0.8 q=0.2

10.5. Обратная задача к схеме Бернулли. Задача.

С колько нужно провести испытаний, чтобы частота _n / n отклонилась то вероятности р не более чем на ε с вероятностью 1–2, где -мало . При этом решение зависит от неизвестной р, этой зависимости можно избежать, если потребовать чтобы вероятность отклонения была 1–2. То есть перейти к оценке

=> . Задача. Найти число испытаний n при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать что относительная частота появления события отклонится не более чем на 0,02.

Решение:

.

11.1. Функция распределения. Свойства функции распределения.

С лучайная величина – одно из основных понятий теории вероятности. Примеры: 1. число вызовов на АТС в течении определенного времени. 2. число космических частиц, попадающих на определенный участок земли и так далее… Все эти примеры с точки зрения математики представляют одну и туже картину, а именно, мы имели дело с величиной, так или иначе характеризующую исследуемое явление, которое под влиянием различных обстоятельств способно принимать различные значения, предсказать которые заранее нельзя. Т.о чтобы знать случайную величину необходимо знать ее значение, которое оно может принимать и вероятности с которыми она может принимать эти значения. Для этого вводится понятие функции распределения случайной величины. Определение: Пусть ξ – случайная величина, х – произвольное действительное число. Вероятность того, что ξ примет значение < х называется функцией распределения вероятностей случайной величины ξ. . Случайная величина – это величина, значение которой зависит от случая и для которой определена функция распределения вероятностей. Пример1. два игрока подбрасывают монетку, если герб – то первому рубль, если решка, первый отдает рубль. ={“Г”, “Р”} Р(“Г”)=Р(“Р”)=0,5 ξ – Случайная величина ξ= ξ(“Г”)= 1 ξ= ξ(“Р”)= –1. Строим табличку

Свойства функции распределения:

( 1) [0, 1] так как по определению = Р(ξ<x)Î [0,1]. (2) х₁,х₂ х₁<x₂, =>  Доказательство {ξ<x₁}{ ξ<x₂} при х₁<x₂ тогда Р(ξ<x₁) Р(ξ<x₂) =>  Следствие: P(a< ξ<b)= – Следствие: вероятность того, что случайная величина принимает ровно одно значение равна 0. (3) . Доказательство: возьмем послед. событий {ξ<–n} n=1,2,…она монотонно убывает.{ξ<–n}{ξ<–n–1} n=1,2,… = => P()=0. Отсюда, с учетом монотонности . Случай x→+∞ аналогично. (4) функция распределения непрерывна слева, то есть . Док-во. Пусть числовая последовательность y_n возрастает, тогда {ξ<y_n}{ξ< y_n+1} учитывая монотонность получим требуемое. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: любая ф-ия распределения является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяет условиям . Обратное тоже верно. Ф-ия удовл перечисленным условиям может являться функцией распределения некоторой случайной величины. Замечание: любая случайная величина однозначно определяет свою функцию распределения, но существует сколько угодно случайных величин, имеющих одну и туже ф-ию распределения.