2.3. Вероятность: аксиомы вероятности, свойства вероятности.

Числовая функция Р, определенная на классе событий U называется вероятностью, если выполнены следующие условия (аксиомы вероятности): 1) U – алгебра событий 2) P(A)0 AU 3) P(W) = 1 4) АВ =  => Р(А+В) = Р(А)+Р(В) 5) Для любой убывающей последовательности А₁А₂…А_n… A_iÎ U =  => Свойства вероятности: 1) вероятность противоположных событий Р( )=1–Р(А) Доказательство: очевидно, что А+ = W и А =Æ Тогда Р(А+ )= Р(W) Р(А)+Р( )=1 => Р( )=1–Р(А) ЧТД. 2) Вероятность пустого события равна нулю. Р(Æ)=0 Док-во: Пусть А=W => Р( )=1–Р(А) => Р(Æ)= 1–1=0 2) Для любых событий А и В имеем Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ) Док-во: А+В = - несовместные события В = - несовместные события. Возьмем от обеих частей вероятность Р(А+В)=Р(А)+Р(В ) Р(В)=Р(В )+Р(ВА) => Р(В )=Р(В)–Р(АВ) Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Следствие из 3. Р(А+В)  Р(А)+Р(В). 4. Если А В => Р(А)  Р(В). 5. Если в А₁, А₂,…, А_n,… события попарно несовместны А_iA_j=Æ при ij i,j=1,2,…, то А= => Р(А)= 6. Если А₁А₂…Ì А_nÌ … А= или А₁ÉА₂É…É А_nÉ … А= , то Р(А)= ОПРЕДЕЛЕНИЕ: тройка {W, U, P} в которой Р удовлетворяет 2-5, а U – сигма-алгебра, называют вероятностным пространством. Понятие вероятностного пространства содержит лишь самые общие требования, предъявляемые к математической модели случайного явления и не определяет вероятность однозначно. ПРИМЕР: подбрасывание 2-х монет. Найти вероятность того, что они упадут одинаковой стороной. 1) W={w₁, w₂, w₃} w₁ = {ГГ} w₂={PP} w₃={ГР или РГ} |W|=3, |A|=2, P(A)=|A|/|W| => P(A)=2/3 2) W={w₁, w₂, w₃, w₄} w₁ = {ГГ} w₂={PP} w₃={ГР} w₃={РГ} |W|= 4, |A|=2, => P(A)=2/4 = ½. Две разные вероятности одного и того же события; проведем N подбрасываний N→ ∞, тогда частота N_A/N  2/3 (из задачи 1) N_A/N  1/2 (из задачи 2). Эта задача ест задача выбора из 2-х моделей (гипотез). И является наиболее важной в мат статистике.

3. Дискретные вероятностные пространства. Классическая вероятность.

Пусть W - счетное множество. W={w₁,…, w_n ,…} U – класс подмножеств множества W, P_n0 удовлетворяющие условию =1. Любые события А из алгебры U положим Р(А)= функция Р(А) будет удовлетворять следствиям 2-5 { 2) P(A)0 AU 3) P(W) = 1 4) АВ =  => Р(А+В) = Р(А)+Р(В) 5) А₁А₂…А_n… A_iÎ U =  => } => является вероятностью для дискретных вероятностных пространств. Если, начиная с некоторого номера n, n > N p_n =0, то получаем W={w₁,…,w_N} – конечное пространство. Если к тому же p₁=p₂=…=p_N=1/N получаем классическое определение вероятности. Пусть W={w₁,…,w_N}- конечное, введем U – алгебру событий, содержащую 2^N подмножеств множества W, типа А={w₁,…,w_к}. В классическом определении вероятности полагают P(w_i)=1/N i=1,2,..,N, поэтому вероятность событий А равна отношению числа элементарных событий, входящих в W, то есть Р(А)=|A|/|W| = K/N – классическая вероятность так как эта функция удовлетворяет 2-5. В дискретных вероятностных пространствах работают с двумя схемами: пусть А={1,2,..N}, пусть w={i₁, i₂,…,i_n} – упорядоченный набор из n элементов множества А. Определение: вероятностную схему называют схемой случайного выбора с возвращением если W = {w=(i₁, i₂,…,i_n), i_kÎ A, k= } и все элементарные события w равновероятны. Схемой случайного выбора без возвращения, если W = {w=(i₁, i₂,…,i_n), i_kÎ A, k= , i₁, i₂,…,i_n - различны} и все элементы события w – равновероятны. Пример1. В урне 5 карточек с числами 1,2,3,4,5. Из урны 3 раза вынимается карточка. Какова вероятность того, что ровно в 2-х случаях из 3х будут вынуты карточки с нечетными номерами. Решение: 1) (с возвращением) |W|=5*5*5=125 |A|=(2*3*3)*3=54 P(A)=54/125=0.432. 2) (без возвращения) |W|=5*4*3=60 . Замечание: эту задачу в случае (2) можно было считать по формуле гипергеометрической вероятности: , где N – число всех карточек, M – число четных. n – число выбранных карточек из N, m – число четных среди выбранных. Тогда искомую вероятность можно вычислить Пример2. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы |W|=12¹². |A|=12! P(A)=12!/12¹²= 5*10^-5. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность следующих событий: А={на 1-ой кости «1»} В={выпала хотя бы одна «6»} |W|=6*6=36