- •1. Предмет теории вероятности.
- •2.1. Вероятностное пространство. Пространство элементарных событий.
- •2.2. Алгебра событий
- •2.3. Вероятность: аксиомы вероятности, свойства вероятности.
- •3. Дискретные вероятностные пространства. Классическая вероятность.
- •4 Абсолютно непрерывные вероятностные пространства. Геометрические вероятности. Задача Бюффона. Парадокс Бертрана. Задача о встрече.
- •5. Условные вероятности. Примеры.
- •6. Вероятность произведения событий. Примеры.
- •7. Формула полной вероятности. Примеры.
- •8. Формула Байеса (вероятности гипотез). Примеры.
- •9. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Примеры.
- •10.1. Теорема Пуассона:
- •10.3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •10.4. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаний.
- •10.5. Обратная задача к схеме Бернулли. Задача.
- •11.1. Функция распределения. Свойства функции распределения.
- •11.2. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения.
- •11.3. Свойства плотности распределения вероятностей. Наиболее распространенные распределения.
- •12.1. Многомерные функции и плотности распределения вероятностей, свойства.
- •12.2. Независимость случайных величин.
- •13. Функции от случайных величин
- •14.1. Математическое ожидание случайной величины, свойства, примеры, мат ожидание наиболее распространенных распределений.
- •14.2. Дисперсия. , средне квадратичное отклонение; свойства. Дисперсии наиболее распространенных распределений.
- •14.3. Моменты.
- •14.4. Ковариация. Коэффициент корреляции.
- •15.1. Закон больших чисел
- •15.2. Некоторые оценки распределения случайных величин: нр-во Чебышева, теорема Чебышева.
- •15.3. Частные случай теоремы Чебышева: теорема Бернулли; теорема Пуассона и др.
- •15.4. Теорема Маркова.
- •15.5. Усиленный закон больших чисел: неравенство Колмогорова, теорема Колмогорова.
- •16.1. Производящие функции: свойства, теоремы, примеры.
- •16.2. Характеристические функции, свойства, теоремы.
- •16.3. Примеры подсчета характеристических функций.
- •16.4. Предельные теоремы для характеристических функций (прямая и обратная)
- •16.5. Формула обращения для характеристической функции.
- •16.6. Центральная предельная теорема
- •16.8. Понятие асимптотической нормальности
- •17. Многомерное нормальное распределение.
1. Предмет теории вероятности.
Цель курса состоит в изложении основ теории вероятности. Теория вероятности – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Возникновение относится к середине XVII века. Из переписки между ученными того времени, касающиеся теории азартных игр. В то время уже были попытки получить какие-то строгие подходы к случайным явлениям. Гюйгенс 1629-1695 Паскаль 1623-1662 Ферма 1601-1665 Якоб Бернулли 1654-1705. Впоследствии серьезные требования со стороны естествознания и общественной практики (теории ошибок, теории стрельбы, проблема статистики народонаселения) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Муавр 1667-1754 Лаплас 174-1827 Гаусс 1777-1855 Пуассон 1781-1840. С половины XIX века и до середины XX существеннее развитие в этой области вложили Чебышев 1821-1894 Марков 1856-1922 Ляпунов 1857-1918. Этот успех был подготовлен деятельностью Буняковского 1804-1889. Мощные результаты были получены советскими ученными Бернштейн 1880-1968 Колмогоров 1903-1987 Хинчин 1984-1959. В частности Хинчиным 30-х годах создана теория статистических (случайных, вероятных) процессов: которая ныне стала основным направлением в исследовании теории вероятности. В наше время теория вероятности одна из наиболее быстро развивающихся областей математики. Методы и результаты исследований которой применяются в различных областях естествознания (физике, химии), военном деле, инженерном деле (теория надежности), различных технических дисциплинах, экономике, задачах массового производства продукции (статистический контроль в производстве управления качества).
Случайные явления. До возникновения теории вероятности объектом исследования науки были явления и опыты, в которых условия однозначно определяли исход. НАПРИМЕР: если на материальную точку действует сила тяжести и в некоторый момент времени заданы положение и скорость точки, то ее дальнейшее движение определяется соответствующим дифференциальным уравнением однозначно. Если же рассмотреть движение пули, то ее траектория не будет определяться однозначно, так как начальная скорость пули по многим причинам не является постоянной при различных выстрелах. При подбрасывании монеты: герб или решетка. Результаты измерений одной и той же величины полученные одним и тем же прибором, в одних и тех же условиях – различны. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: влияние очень большого числа разнообразных величин, любая из которых в отдельности не может повлиять на результаты опыта приводит к тому, что результат опыта не определяется однозначно, говорят, результат опыта является случайным.
Вероятность и частота. Интуитивно вероятность некоторого события воспринимается как объективная характеристика появления. Экспериментально установлено, что с ростом числа опытов – N, производимых в одних условиях, частота появления некоторого события А становится почти постоянной. NA / N – частота случайного события А. Таким образом можно попытаться с любым случайным событием связать некоторое число Р → NA / N и считать это число вероятностью события А.
Математическая модель Теория вероятности имеет дело не с явлениями окружающего мира, а с их математическими моделями. В математической модели должны быть правильно переданы существенные сторона изучаемого объекта, а не существенны отброшены. Усложнение математической модели затрудняет исследование, а излишнее упрощение приводит к неверным выводам. Насколько удачно введена модель можно судить по согласованности теоретического вывода с опытом. В математических моделях вероятность рассматривается, как функция от случайного события.