Мода случайной величины.

Мода случайной величины для дискретной случайной величины – наиболее вероятностное значение, а для непрерывной случайной величины – максимальное значение f(x₀); x₀X.

Медиана случайной величины.

Медиана дискретной случайной величины и непрерывной – есть p(x<Me)=p(x>Me)=1/2.

Характеристики рассеивания случайной величины.

Различают моменты: начальные и центральные.

Начальным моментом k-го порядка называют:

Центральным моментом k-го порядка называют:

Вычисляется:

Свойства центрального момента:

1^о. М₁[х]=0

2^о. М₂[х] – дисперсия случайной величины.

Центральный момент третьего порядка служит для определения характеристик асимметрии распределения случайной величины относительно его математического ожидания.

К оэффициент симметрии:

Если значение А>0, то функция плотности распределения смещена влево, если значение A<0, то функция плотности распределения смещена вправо относительно М₀.

М₄[x] служит для определения крутизны для распределения случайной величины.

Коэффициент эксцесса:

Характеризует крутизну распределения относительно нормального закона распределения, для которого указанная величина равна 3.

Характеристика вероятностных взаимодействий решает следующую задачу:

Дано две случайные величины: X; Y. Определить их зависимость и независимость.

Корреляционный момент (корреляция).

Коэффициент корреляции:

Если x, y – независимы, то r_x,y  0

Если x  y, то r_x,y  1

Если x  1/y, то r_x,y  -1

Г еометрическая интерпритация коэффициента коррелиации.

Е сли  стремиться к 0  90^о, то x, y независимы.

Коэффициент автокоррелиации.

Пусть есть последовательность X = {x₁, …, x_n}, вторую последовательность Y получаем путем сдвига Х на  разрядов k_xy.

Основные законы распределения.

1. равномерное распределение

2. нормальное распределение

3. экспонециал (показательное)

4. хи-квадрат

Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина равномерно распределена на [a; b]

0, x<a

f(x) = c, a  x  b (const  0)

0, x>b

Зная, что

можно определить

Н ормальное распределение.

Это наиболее часто встречающийся закон.

m_x – математическое ожидание

=D_x – среднеквадратическое отклонение

M[x] =m_x

D[x] = ²

Хорошо описывается погрешность при рассмотрении случайных и псевдослучайных чисел.

Задача1: определить доверительный интервал для матожидания и дисперсии случайных чисел.

t=(x-m_x)/2

В этом случае x=m_x+2t

Случайная величина t – называется нормированной случайной величиной с нормальным законом распределения, которая имеет следующую функцию распределения:

– плотность распределения.

Функция Лапласа.

1 t

Ф*(t)=2 e^-2/2 dt

-

Связь Ф*(t) и Ф(t):

 = 1 -  - доверительная вероятность.

Таблица функции Лапласа для t_/2.

m_x x∆; x+∆]

∆ = t_/2 N

 - среднеквадратическое отклонение.

N – число элементов выборки.

Р = 0,95

Доверительный интервал – это интервал, относительного которого можно с заранее определенной вероятностью близкой к единице утверждать. Что он содержит неизвестное нам значение параметра m_x.

Задача2: определить длину последовательности для определения точечных характеристик с заданной вероятностью.

N = (t_/2/∆)²

N – объем выборки, которое с вероятностью р =1 -  обеспечит заданную точность ∆.