Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Формулы по матану.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

213.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Сравнение бесконечно малых

Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость (0/0).

Чтобы сравнить две бесконечно малые величины нужно найти предел их отношений:

Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).
Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).
Если , (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения). В частности если С=1 то α(х) и β(х) называются эквивалентными.

Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если

1. Она определена в точке х₀

2. Существуют конечные пределы:

3. Эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке х₀

) = ( ) = f(x₀)

Разрывность функции

Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х₀, а сама точка x₀-точкой разрыва.

Если в точке x₀ оба односторонних разных предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х₀-точка разрыва первого рода, т.е.

Возможны два случая:

f(x₀+0)=f(x₀-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х₀, (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется устранимым, так как если доопределить функцию в точке х₀ или переопределить ее, положив f(x₀)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х₀.
f(x₀-0) ≠ f(x₀+0) B этом случае разрыв называется неустранимым. Разность абсолютной величины односторонних пределов есть – скачок функции.

2. Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x₀+0) или f(x₀-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый. Если в точке х₀ функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции

§6 Дифференцируемость функции.

Функция называется дифференцируемой в точке , если в некоторой окрестности этой точки полное приращение этой функции можно представить в виде

, (1)

Находим первую производную:

Доказательство. Переходя в соотношении (1) к пределу при получим , следовательно, функция непрерывна (согласно определению непрерывности функции двух переменных на языке приращений). Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные, причём

Доказательство. По условию теоремы функция дифференцируема, значит, имеет место соотношение (1). Полагая , имеем, что где ─ бесконечно малая функция при .

Разделив на и переходя к пределу при , получаем

ПОРЯДОК МАЛОСТИ:

Порядок малости находиться по таблице эквивалентности:

незабываем ставить знак эквивалентности), k – есть порядок малости.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ФНП

Z=(xy), функция где есть Х и У, нужно взять производную по Х, и производную по У т.е. и .

НЕЯВНО ЗАДАННЫЕ ФНП:

Находится Y_x’ = = , находится отношение производной по Х и производной по У.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА ФНП

Частные производные от производных первого порядка функции наз. частными производными второго порядка. Они обозначаются:

и и

Дифференциалы I и II порядка:

Функция называется дифференцируемой, если ее приращение может быть представлено в виде суммы линейной функции от приращений аргументов . Главная часть приращения дифференцируемой функции называется полным дифференциалом функции z(dx= )