Нормальное уравнение плоскости.

Плоскость однозначно задается такими величинами и , где - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость ; - орт вектора . Как известно, .

Возьмем на плоскости произвольную точку , ее радиус-вектор .

Заметим, что . Так как , то ,

т.е. .

Уравнение называется нормальным уравнением плоскости.

Переход от общего уравнения плоскости к нормальному уравнению называется нормированием плоскости. Покажем, как это сделать.

Умножим общее уравнение плоскости на некоторый множитель , называемый нормирующим множителем плоскости. Получим, .

Таким образом, , , и . Отсюда , . Так как , то и имеют противоположные знаки ( ).

Угол между двумя плоскостями.

За угол между двумя плоскостями и будем принимать один из двух двугранных углов, образованных этими плоскостями, причем . Обозначается этот угол .

Таким образом, для нахождения угла между двумя плоскостями и достаточно найти угол между нормальными векторами и этих плоскостей.

Пусть и , тогда

.

Итак, .

Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей: .

Условие того, что две плоскости совпадают: .

Условие перпендикулярности двух плоскостей: .

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскость задана своим общим уравнением и точка . Требуется найти расстояние от точки до плоскости .

Возьмем на плоскости произвольную точку . . - нормальный вектор плоскости . Заметим, что . Итак,

.

Так как , то , отсюда , тогда .

Итак, .

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определение системы координат в пространстве.

2. Сформулируйте определение прямоугольной декартовой системы координат в пространстве.

3. Как найти расстояние между двумя точками в пространстве?

4. Запишите формулы деления отрезка в данном отношении.

5. Сформулируйте определение поверхности в пространстве.

6. Какое уравнение называется уравнением поверхности в пространстве?

7. Какие виды уравнения плоскости Вам известны?

8. Сформулируйте определение угла между двумя плоскостями? Как этот угол обозначается?

9. Как найти угол между двумя плоскостями?

10. Какие условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей?

11. Как найти расстояние от точки до плоскости?

12