Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

П усть плоскость проходит через три точки , и .

Возьмем на плоскости произвольную точку и составим векторы , и .

Векторы , и компланарны, а значит , т.е.

.

Данное уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость не параллельна осям координат и не проходит через начало координат, т.е. , , и . Пусть плоскость пересекает оси , и в точках , и соответственно.

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три данные точки, получим: , т.е. . Раскрыв определитель, имеем: , т.е. или .

Уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, так как , и - относительные отрезки (отрезки со знаком), которые плоскость отсекает на осях , и соответственно.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Пусть плоскость проходит через точку перпендикулярно данному ненулевому вектору .

Возьмем на плоскости произвольную точку . Вектор . Так как , то , т.е.

.

Уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Вектор , перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Полученное уравнение можно переписать в виде , причем, обозначив , имеем - общее уравнение плоскости. Таким образом, в общем уравнении плоскости коэффициенты , и являются координатами нормального вектора этой плоскости.

Уравнение с различными значениями , и называют также уравнением связки плоскостей с центром в точке . (Связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, которые проходят через фиксированную точку, называемую центром связки).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.

П усть плоскость проходит через точку параллельно двум векторам и .

Возьмем на плоскости произвольную точку . Вектор .

Векторы , и компланарны, а значит , т.е.

.

Данное уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.

Уравнение плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данному вектору.

П усть плоскость проходит через две точки и параллельно вектору .

Возьмем на плоскости произвольную точку . Векторы и .

Векторы , и компланарны, а значит , т.е.

.

Данное уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данному вектору.