Одесский колледж компьютерных технологий “Сервер” Кайдалова А.В.

Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Лекции 14-15. Система координат в пространстве. Прямоугольная декартовая система координат в пространстве. Некоторые приложения метода координат в пространстве. Поверхность в пространстве. Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

На данном занятии будут рассмотрены такие важные понятия:

• Система координат в пространстве.

• Прямоугольная декартовая система координат в пространстве.

• Некоторые приложения метода координат в пространстве.

• Поверхность в пространстве.

• Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве.

• Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

• Расстояние от точки до плоскости.

Определение. Системой координат в пространстве называется способ, позволяющий численно описать положение точки в пространстве.

Определение. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется три взаимно перпендикулярные числовые оси , и с общей точкой отсчета и одной и той же единицей масштаба.

Ось направлена в ту сторону, откуда кратчайший поворот от оси к оси виден против часовой стрелки, т.е. оси , и образуют правую тройку.

Оси , и называются осями координат (ось называется осью абсцисс, ось - осью ординат, ось - осью аппликат), точка их пересечения - началом координат. Плоскости , и называются координатными плоскостями.

Выделим на координатных осях , и единичные векторы-орты соответственно. Эти векторы попарно перпендикулярны и их длины равны 1, т.е. и .

Упорядоченная тройка векторов называется еще пространственным базисом.

Для любой точки в пространстве вектор называется радиус-вектором точки . Координатами точки называются координаты ее соответствующего радиус-вектора, т.е. если , то и . Координата называется абсциссой точки , координата - ординатой точки , а координата - аппликатой точки .

Три числа , и полностью и однозначно определяют положение точки в пространстве, а именно: каждой тройке чисел , и соответствует единственная точка в пространстве и наоборот.

Некоторые приложения метода координат в пространстве.

1. Расстояние между двумя точками.

Расстояние между двумя точками и в пространстве находится по формуле:

.

2. Деление отрезка в данном отношении.

Формулы деления отрезка в данном отношении

Поверхность в пространстве.

Определение. Поверхностью в пространстве называется геометрическое место точек (ГМТ), прямоугольные декартовые координаты которых удовлетворяют уравнению , которое называется уравнением поверхности.

Таким образом, уравнение поверхности в пространстве – это такое уравнение , которому удовлетворяют координаты только тех точек пространства, которые лежат на этой поверхности. Точка называется текущей точкой поверхности, а ее координаты , и - текущими координатами.

Все поверхности в пространстве разделяются на два класса: алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическими поверхностями называются такие поверхности, у которых функция - многочлен. В этом случае степень этого многочлена называется порядком поверхности.

Трансцендентными поверхностями называются такие поверхности, которые не являются алгебраическими.

Например, - ур-ние алгебраической поверхности первого порядка,

- уравнение алгебраической поверхности третьего порядка,

- уравнение трансцендентной поверхности.

Уравнение называется еще общим уравнением поверхности в пространстве.

Существует еще параметрическое уравнение поверхности в пространстве.

Параметрическое уравнение поверхности в пространстве имеет вид где , и - координаты произвольной точки , лежащей на поверхности, и - переменные, называемые параметрами поверхности. При изменении параметров и точка движется по данной поверхности (описывает данную поверхность).

Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве.

Простейшей из поверхностей в пространстве является плоскость. Обычно плоскость обозначается .

Общее уравнение плоскости.

Общим уравнением плоскости называется уравнение , где - произвольные числа, причем , и одновременно не равны нулю ( ).

Если , то общее уравнение плоскости называется полным;

если или , или , или , то общее уравнение плоскости называется неполным.

Исследуем общее уравнение плоскости. Возможны такие случаи:

1) Если , т.е. - плоскость параллельна оси , т.е. .

2) Если , т.е. - плоскость параллельна оси , т.е. .

3) Если , т.е. - плоскость параллельна оси , т.е. .

4) Если , т.е. - плоскость проходит через начало координат , т.е. .

5) Если , т.е. , то - плоскость параллельна плоскости , т.е. .

6) Если , т.е. , то - плоскость параллельна плоскости , т.е. .

7) Если , т.е. , то - плоскость параллельна плоскости , т.е. .

8) Если , т.е. - плоскость проходит через ось , т.е. .

9) Если , т.е. - плоскость проходит через ось , т.е. .

10) Если , т.е. - плоскость проходит через ось , т.е. .

11) Если , т.е. , то - плоскость совпадает с плоскостью , т.е. .

12) Если , т.е. , то - плоскость совпадает с плоскостью , т.е. .

13) Если , т.е. , то - плоскость совпадает с плоскостью , т.е. .

1)	2)	3)
	4)
5)	6)	7)
8)	9)	10)
11)	12)	13)