Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть прямая задана своим общим уравнением и пусть ( ). Тогда . Обозначим и , получим .

Выясним геометрический смысл и .

Если , то , таким образом, - относительный отрезок (отрезок со знаком), который прямая отсекает на оси .

Пусть прямая образует с положительным направлением оси угол . Этот угол измеряется только в положительном направлении. Возьмем на прямой произвольную точку . . - прямоугольный, , . Таким образом, , но , значит, .

Итак, и называется угловым коэффициентом прямой .

Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

П усть прямая проходит через точку и ее направление характеризуется угловым коэффициентом .

Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где - пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой, т.е. справедливо равенство , откуда . Подставляя полученное значение в уравнение , получим , т.е.

.

Уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Полученное уравнение с различными значениями называют также уравнением пучка прямых с центром в точке . Из этого уравнения нельзя определить лишь прямую, параллельную оси . (Пучком прямых называется совокупность всех прямых, которые проходят через фиксированную точку, называемую центром пучка).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть прямая проходит через две точки и .

Запишем уравнение пучка прямых с центром в точке : , где - пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку , то справедливо равенство , откуда . Следовательно, , т.е.

.

Уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки. В нем предполагается, что и .

Если же , то прямая параллельна оси и ее уравнение .

Если же , то прямая параллельна оси и ее уравнение .

Уравнение прямой в отрезках.

П усть прямая не параллельна осям координат и не проходит через начало координат, т.е. , и . Пусть прямая пересекает оси и в точках и соответственно.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки, получим: , т.е.

.

Уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как и - относительные отрезки (отрезки со знаком), которые прямая отсекает на осях и соответственно.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

П усть прямая проходит через точку перпендикулярно данному ненулевому вектору .

Возьмем на прямой произвольную точку . Вектор . Так как , то , т.е.

.

Уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой.

Полученное уравнение можно переписать в виде , причем, обозначив , имеем - общее уравнение прямой. Таким образом, в общем уравнении прямой коэффициенты и являются координатами нормального вектора этой прямой.