7. Формальная и математическая логика. Логические константы и переменные. Операции и, или, не над ними.

Математическая (формальная) логика — это наука, которая занимается анализом суждений и доказательств, используемых человеком для обоснования нового знания, произведенного из установленных фактов. Формальная логика пытается найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, какова структура мышления; она изучает логические операции и правила мышления. Логика математическая это наука, изучающая формы рассуждений и доказательств математическими методами.

Алгебра логики очень проста, так как каждая переменная может принимать только два значения: истинно или ложно. Трудность изучения алгебры логики возникает из-за того, что для обозначения переменных применяют символы 1 и 0, которые по написанию совпадают с арифметическими единицей и нулем. Но совпадение только внешнее, так как смысл они имеют совсем иной. Логическая 1 не есть одна штука чего-то реального или абстрактного, это знак того, что совершилось какое-то событие.

Логическая 1 означает, что какое-то событие истинно, в противоположность этому логический 0 означает, что высказывание не соответствует истине, т. е. ложно, в частности.

Как и математическая, формальная логика следует строгим правилам и не вникает в сущность анализируемых суждений.

Задачей формальной логики является установление формальных правил получения новых суждений из исходных, истинность которых не подвергается сомнению. Два элемента булевой алгебры называются ее константами, и обозначаются 0 и 1. Эти символы также называют логическим 0 и логической 1, чтобы не смешивать с двоичными циф­рами ,иногда логическим 0 и 1 соответствуют двоичные цифры 0 и 1. В других слу­чаях логическая 1 соответствует выполнению некоторого условия, а логический 0 – его невыполнению.

Для того, чтобы с помощью алгебры описать поведение и структуру логической схемы, входам, выходам и внутренним точкам схемы ста­вят в соответствие булевы переменные, которые могут принимать только два значения: логические 0 и 1. Формально переменная в двузначной булевой алгебре – это символ, такой, что

x=0, если x≠1

x=1, если x≠0

Для обозначения булевых переменных мы будем пользоваться буквами латинского алфавита.

Логическая операция И обозначается точкой (·) или подразумевается при выписывании рядом булевых переменных. Так, операция И между двумя переменными x и y записывается в вид x·y или ху. В литературе для обозначения этой операции часто используется также символ . Операция И над двумя переменными x и y при этом записывается в виде x y.

Эту операцию часто называют также логическим умножением или конъюнкцией.

x y xy

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Булева операция ИЛИ обозначается знаком плюс. (+) Эта операция над переменными х и у записывается в виде x+y. В литературе для обозначения этой операции часто используется также символ . Операция ИЛИ над двумя переменными x и y при этом записывается в виде x y

Эту операцию часто называют логическим сложением или дизъюнк­цией.

x y x+y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

x

0 1

1 0

Логическую опе­рацию НЕ называют отрицанием, инверсией или дополне­нием. Мы будем обозначать ее черточкой над переменной (¯). Отрицание переменной х записывается в виде .