8.Условная вероятность.Теорема умн-я вер.

Опр. Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение , .

Теорема: при фиксированном А таком что P(A) 0,условная вероятность P(A/B), рассматриваемая, как ф-я мн-ва B из F является вероятностью или вероятностной мерой. Док-во:

Теорема (умножение вероятностей): .

Теорема (обобщенная теорема умножения).

Доказательство:

9. Независимые события и их св-ва.

Опр. События А и В называются независимыми, если .

Свойства: 1. любое соб-е и соб вер-ть кот равно 0 независимы. 2. любое соб и соб-е вер-ть кот-го равна 1 неза-мы. 3. соб-е не зависит от самого себя  его ер-ть равно 0 или 1 4.События А и В независимы тогда и только тогда когда P(B/A)=P(B). Док-во: пусть А и В незавивисимы, тогда . Пусть P(B/A)=P(B), тогда А и В независимы. 5. если А и В незав-е соб-я, то А и В явл-ся независимыми событиями.

Опр. События А₁,А₂,…,А_n называются независимыми (или независимыми в совокупности), если

(для i≠j; i,j {1,2,3,…,n}) , …,

.

Соб-я удов только 1-му рав-ву наз попарно независимыми.

10.Формула полной вероятности и Байеса.

Теорема 1. Если события Н₁, Н₂,…,Н_n образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности: , или . ▲Так как события образуют полную группу, то можно записать . Событие А может произойти только с одним из событий H_i, i {1,2,…,n}, то А=АН₁+АН₂+…+АН_n. По теореме сложения вероятностей ▲

Теорема 2. Пусть события Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:

,

Доказательство: По теореме умножения вероятностей

. Отсюда находим вероятность . Остается в знаменателе подставить вместо —формула полной вероятности.

11.Схема Бернулли. Ф-ла.

Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей. , , p+q=1. Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.

Опр. Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

Элементарным исходом будет являться: (w₁,w₂,…,w_n), . Всего таких исходов 2ⁿ. . (1) Формула (1) показывает, что события независимы. Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие . По теореме сложения получим

Таким образом, получим —формула Бернулли.

12. Полиномиальное распределение.

Обобщение схемы Бернулли явл полиномиальная схема.

О: Испытанием пол-й схемы наз-ся повторные назависимые испытания в каждом из которых возможны к>=2 исходов вер-ти, кот-е не меняются от испытания к испытанию при к=2 получ-ся биномиальная схема, схема Бернулли.

Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E₁, E₂, …, E_k, P(E_i)=p_i, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E₁ появиться r₁ раз, E₂ – r₂ раз, …, E_k – r_k раз вычисляется по формуле:

где Эта формула полиномиальное распределения.