36. Выборка. Эмпирические функции распределения

О. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Предположим, что можем производить измерения случайной величины Х. Допустим, что в n экспериментах результаты измерений - некоторые числа.

Предполагаем, что выполняются следующие две предпосылки:

1. Эксперименты проводятся в одинаковых условиях;

2. Эксперимента проводятся независимо друг от друга.

О. Говорят, что результаты n экспериментов образуют конкретную выборку объема n из генеральной совокупности случайной величины Х, если выполняются предпосылки 1 и 2. Величину Х называют теоретической случайной величиной.

О. Говорят, что случайные величины образуют абстрактную выборку объема n, если они независимы и одинаково распределены.

Предположим, что имеется выборка из генеральной совокупности с функцией распределения F(x). Через Y обозначим случайную величину с рядом распределения (законом распределения)

Y	x1	x2	...	xn
P	1/n	1/n	...	1/n

О. Случайная величина Y называется выборочной или эмпирической. Ряд распределения случайной величины Y называется выборочным или эмпирическим.

О. Эмпирической функцией распределения называется функция распределения выборочной (эмпирической) случайной величины Y. Обозначается эта функция: . , где - число выборочных значений

51. Критерии согласия χ² – Пирсона.

В критерии X²- Пирсона в качестве меры отклонения теоретической функции распределения F(x) от эмпирической функции распределения F_n(x) выбирается величина

Обозначим через , - число выборочных значений, попавших в интервал ,

48. Лемма Фишера.

Лемма: Если - выборка из нормальной генеральной совокупности с параметрами , то случайная величина

. Лемма Фишера: Если - выборка из нормальной генеральной совокупности с параметрами , то случайные величины и - независимы, причем .

38. Точечные оценки неизвестных параметров. Несмещенные, состоятельные, эмпирические оценки.

Предположим, что имеется выборка из распределения зависящего от неизвестного параметра .

О1. Оценкой или статистикой параметра называется любая функция от выборочных значений .

О2. Оценка неизвестного параметра называется несмещенной, если математическое ожидание .

О3. Оценка неизвестного параметра называется состоятельной, если сходится по вероятности k a ( т.е. для ) .

О4. Несмещенная оценка неизвестного параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок параметра .

┐ несмещенная оценка параметра , тогда эффективна, если

Пример: Предположим, что имеется выборка из генеральной совокупности с , . Здесь - генеральная средняя, - генеральная дисперсия.

В качестве оценки возьмем выборочную среднюю . В качестве оценки возьмем выборочную дисперсию . Проверим, насколько хороша оценка :

1. Вывод: - несмещенная

оценка параметра .