2.4. Формализация смо.

Будем рассматривать СМО, в которой параллельно функционирует с эквивалентных обслуживающих приборов:

1

поток выходной

т ребований 2

поток

очередь

:

:

с

Обслуживающие

устройства

Блок

обслуживания

Применяются следующие обозначения для формализации структуры СМО (обозначения Кендалла):

( a / b / c ):( d / e / f )

где символы обозначают следующее:

а - распределение поступления заявок на обслуживание;

b - распределение времени обслуживания (выбытия обслуженных требований);

с - число параллельных узлов обслуживания;

d - дисциплина очереди (ПЕРППО, ПОСППО, СОЗ). Если d = CG - дисциплина не регламентирована;

e - максимальное число допускаемых в систему требований;

f - емкость источника требований.

Для конкретизации a и b приняты следующие стандартные обозначения:

D - фиксированный (детерминированный) интервал требований между событиями;

М - пуассоновское (или марковское) распределение входного или выходного потоков;

GI - распределение произвольного вида моментов поступления в систему требований;

G - распределение произвольного вида моментов выбытия из системы.

Рассмотренные ранее процессы чистой гибели и рождения являются нестационарными, так как поведение системы есть функция времени.

Далее рассматриваются стационарные процессы функционирования СМО (не зависящие от времени). Будем рассматривать следующие операционные характеристики СМО:

p_n - вероятность того, что в системе находится n требований (в очереди и блоке обслуживания);

L_s - среднее число находящихся в системе требований;

L_q - среднее число требований в очереди;

W_s - средняя продолжительность пребывания требования в системе;

W_q - средняя продолжительность пребывания требования в очереди.

По определению:

.

Если все заявки, поступающие во входной поток, обслуживаются системой, то имеют место соотношения:

L_s = lW_s , L_q = lW_q .

Если же частота поступления требований равна l, но не все заявки поступают в блок ожидания - очередь (например, из-за ограничения длины очереди), то вводится величина l_эфф - эффективная частота поступления требований, то есть количество действительно допущенных требований в блок ожидания СМО в единицу времени. Тогда :

L_s = l_эфф W_s , L_q = l_эфф W_q .

В общем случае:

l_эфф = bl , 0 £ b £ 1,

то есть только часть требований действительно проникает в систему.

Средняя продолжительность пребывания требования в системе равна средней продолжительности пребывания требования в очереди плюс среднее время обслуживания. Тогда:

.

Умножая на l, получим:

или

l = m ( L_s - L_q )

Вместо l в данном соотношении можно использовать l_эфф .

При анализе моделей СМО главное внимание будет направлено на получение формул для p_n , так как зная эти вероятности, можно определить другие основные операционные характеристики СМО в следующем порядке:

Рассмотренные выше формулы для вычисления операционных характеристик систем массового обслуживания называют формулами Эрланга.

Далее будут рассматриваться конкретные СМО. В стационарных условиях основными операционными характеристиками являются вероятности p_n , которые не зависят от дисциплины очереди. Поэтому в схеме Кендалла будет использоваться обозначение GD, означающее, что выражения для p_n верны для любой дисциплины очереди.

Следует помнить, что дисциплина очереди оказывает существенное влияние на распределение продолжительности ожидания и при его вычислении дисциплина очереди будет конкретизироваться.