5. Задание для лабораторной работы.

1. Сгенерировать платежную матрицу размера m´n с границами a и b диапазона возможных значений ее компонент (таблица 8).

2. Найти с помощью программы оптимальные смешанные стратегии сторон и ожидаемую цену игры (таблицы 9-11).

3. Найти цену игры для всех чистых стратегий сторон при условии, что противоборствующая сторона применяет оптимальную стратегию.

Для рассматриваемого примера, найдем цену игры для чистой стратеги A₁. Лист Расчет после формирования исходных данных и нажатия кнопки “Цена игры” имеет вид.

Таблица 38.

Исходные данные

№	Название параметра	Значение
1.	Количество стратегий стороны А	5
2.	Количество стратегий стороны В	5
3.	Нижняя граница матрицы дохода	0
4.	Верхняя граница матрицы дохода	0
5.	Число этапов моделирования	1
6.	Информированность противника	0
7.	Доля информированности	0
8.	Число стратегий информированности	1

Таблица 39.

Платежная матрица

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	4	6	2	3	6
А2	5	9	6	7	1
А3	8	8	0	3	7
А4	6	2	0	8	2
А5	2	8	8	9	9

Таблица 40.

Оптимальная стратегия стороны А

Стратегии	1	2	3	4	5
Частоты	1	0	0	0	0

Таблица 41.

Оптимальная стратегия стороны В

Стратегии	1	2	3	4	5
Частоты	0.526	0	0.368	0	0.105

Таблица 34.

Цена игры

3.472

Результаты расчета цены игры для всех чистых стратегий сторон А и В представить в таблицах следующего вида.

Таблица 42.

i	1	2	3	4	5
n	3.472	4.947	4.947	3.368	4.947

Таблица 43.

j	1	2	3	4	5
n	4.947	8.439	4.947	6.491	4.947

4. Определить зависимость цены игры от доли информированности. Для рассматриваемого примера результаты расчетов представлены в следующей таблице.

Таблица 44.

dи	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
n	4.947	4.554	4.161	3.768	3.375	2.982	2.589	2.196	1.804	1.411	1.018

Построить график зависимости n( d_и ).

5. Определить зависимость цены игры от количества l_и стратегий информированности. Принять в качестве стратегий информированности стратегии стороны А с 1-ой по l_и-ю. Для рассматриваемого примера результаты расчетов представлены в следующей таблице.

Таблица 45.

lи	1	2	3	4	5
n	4.947	3.216	1.871	1.871	1.018

6. Провести имитационное моделирование парной игры без информированности противников на 3000 этапов, фиксируя через ~250 этапов выборочные характеристики средней цены игры. Определить доверительные интервалы для математического ожидания цены игры М(n) по выборочному среднему по формуле:

где ,

,

,

tg - квантиль распределения Стьюдента, определяемый по таблицам /2/ (при больших k значение tg определяется по таблице функции Лапласа).

Результаты моделирования и расчета границ доверительных интервалов приведены в таблице.

Таблица 46.

N		sn	dn	Ел	Еп
253	4.676	2.753	0.341	4.335	5.017
503	4.885	2.763	0.242	4.643	5.127
759	4.951	2.760	0.197	4.754	5.148
1012	4.960	2.782	0.172	4.788	5.132
1243	5.027	2.774	0.154	4.873	5.181
1508	4.993	2.763	0.140	4.853	5.133
1750	5.043	2.760	0.129	4.914	5.172
2013	4.964	2.753	0.120	4.844	5.084
2254	4.980	2.749	0.114	4.865	5.081
2511	4.973	2.749	0.108	4.865	5.081
2755	4.960	2.765	0.103	4.857	5.063
3000	4.966	2.761	0.099	4.867	5.065

При увеличении числа этапов моделирования границы доверительного интервала сужаются, а теоретическое значение цены игры находится внутри доверительного интервала. Это значит, что при многократном розыгрыше парной игры средняя цена игры приближается к расчетному значению, полученному для бесконечного числа этапов.

Для границ доверительных интервалов построить график изменения в зависимости от числа этапов моделирования.

7. Для числа этапов моделирования k=3000 определить доверительные интервалы для вероятностей p_ij реализации результатов игры r_ij , используя в качестве точечных оценок частоты w_ij, представленные в таблице “Частоты”. Принять, что при каждой реализации исходных данных эти вероятности одинаковы, то есть проведенные 3000 розыгрышей парной игры можно считать серией независимых повторных испытаний для событий, заключающихся в реализации результата игры r_ij. Для интервального оценивания вероятностей этих событий по экспериментальной частоте используем следующие формулы:

p_ij Î ( p₁ ; p₂ ),

где p_ij - оцениваемая вероятность,

k - объем выборки (равный проведенному числу этапов моделирования),

w_ij - частота события, вычисленная по выборке,

t - аргумент функции Лапласа, определяемый из условия Ф( t ) = g,

• - доверительная вероятность.

По результатам моделирования парной игры на 3000 этапов для рассматриваемого примера была получена следующая таблица частот реализации результата игры r_ij .

Таблица 47.

Частоты

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	0	0	0	0	0
А2	0.234	0	0.155	0	0.042
А3	0.140	0	0.101	0	0.031
А4	0	0	0	0	0
А5	0.152	0	0.113	0	0.03

При g = 0.95 значение аргумента функции Лапласа t = 1,96. Результаты расчета доверительных интервалов для вероятностей p_ij представлены в следующей таблице.

Таблица 48.

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	0	0	0	0	0
А2	0.220 0.250	0	0.143 0.169	0	0.036 0.050
А3	0.128 0.153	0	0.091 0.113	0	0.026 0.038
А4	0	0	0	0	0
А5	0.140 0.165	0	0.102 0.124	0	0.025 0.037

Все теоретические вероятности (таблица 36) попали внутрь соответствующих доверительных интервалов.

8. Задать признак информированности равным 1, долю информированности d_и = -1, число этапов моделирования k = 1000. При этих исходных данных провести моделирование парной игры. Условие d_и < 0 означает, что доля информированности генерируется датчиком случайных чисел. По результатам моделирования необходимо определить d_и .

Для рассматриваемого примера были получены следующие точечные оценки параметров распределения цены игры:

= 2.002, sn = 2.299.

Тогда доверительный интервал для цены игры имеет вид:

n Î (1.860; 2.144).

По таблице 44 зависимости n( d_и ) определяем соответствующий интервал для доли информированности:

d_и Î (0.713; 0.786).

Действительное значение доли информированности в розыгрыше составило: d_и = 0.737.

На лист Расчет в ячейку CV1 выводится закодированное значение доли информированности. Это значение необходимо отразить в отчете по лабораторной работе.