МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

______________________________

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

²УТВЕРЖДЕНО²

Учебно-методическим

Советом КИ МГОУ

Председатель Совета

____________________

А. М. Липатов

²____²_________ 1998 г.

Трушков А. С.

И Н С Т Р У К Ц И Я

для выполнения лабораторной работы

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПАРНОЙ ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

г. Коломна

1998 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

1.	Введение .............................................................................................................	2
2.	Основы теории игр ............................................................................................	2
3.	Решение игры в смешанных стратегиях .........................................................	4
4.	Порядок работы с программой .........................................................................	8
5.	Задание для лабораторной работы ...................................................................	16
6.	Структура отчета ...............................................................................................	20
7.	Литература ..........................................................................................................	21

1. Введение.

Лабораторная работа выполняется с помощью программы ²Имитационное моделирование парной игры с нулевой суммой² /1/. Программа написана на алгоритмическом языке VISUAL BASIC и оформлена в виде модуля табличного процессора EXCEL. Программа позволяет вычислять оптимальные стратегии противоборствующих сторон в парной игре с нулевой суммой, а также проводить имитационное моделирование парной игры при заданных стратегиях сторон для оценивания параметров распределения вероятностей цены игры. В программе предусмотрено имитационное моделирование парной игры с нулевой суммой для случая, когда одна из сторон частично информирована о действиях другой стороны.

2. Основы теории игр.

Ситуации, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующие различные цели называются конфликтными. Результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник.

Как правило, решение принимается в условиях неопределенности, так как достоверно нельзя предсказать действия противника.

Математический аппарат, предназначенный для принятия оптимальных решений в условиях неопределенности в конфликтных ситуациях, называется теорией игр. Под игрой понимают мероприятия, состоящие из ряда действий сторон. Если в конфликте участвуют две стороны, то игра называется парной, если более двух - множественной.

Система условий, регламентирующих возможные варианты действий сторон, объем информации каждой стороны о поведение другой, а также результат, к которому приводит данная совокупность действий, составляют правила игры. Игра состоит из ряда последовательных этапов или ходов. Под ходом понимается выбор одного из предусмотренных правилами игры действий. Совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом ходе в зависимости от сложившейся обстановки, называется стратегией.

Результатом игры является выигрыш или проигрыш одной из сторон, обычно выражаемый в количественной форме. Оптимальной стратегией является такая, которая при многократном повторении игры обеспечивает данной стороне максимально возможный средний выигрыш. Игры, в которых одна сторона проигрывает столько, сколько выигрывает другая, называется играми с нулевой суммой.

Далее рассматриваются парные игры с нулевой суммой.

В общем виде постановка задачи теории игр производится следующим образом:

имеется некоторая операция (целенаправленное действие), в которой участвуют две стороны А и В с противоположными интересами;

имеются правила игры, регламентирующие результаты, к которым приводят возможные варианты действий сторон;

результаты действий сторон выражены в количественной форме и обозначены a_ij, что означает выигрыш стороны А, если она использует стратегию А_i , а сторона В использует стратегию B_j .

Требуется найти оптимальные стратегии сторон, а также ожидаемый средний выигрыш.

Математическая модель парной игры с нулевой суммой представляет собой так называемую платежную матрицу R = {r_ij} (или матрицу игры):

Таблица 1.

Ai	Bj
	B1	B2	...	Bn
A1 A2 ... Am	r11 r21 ... rm1	r12 r22 ... rm2	... ... ... ...	r1n r2n ... rmn

Здесь сторона А имеет m стратегий, сторона В - n стратегий. Строки матрицы соответствуют стратегиям стороны А, столбцы - стратегиям стороны В.

Выбирая оптимальную стратегию стороны А рассчитывают на то, что сторона В ответит на неё той из стратегий , для которой выигрыш стороны А минимален. Обозначим - минимальный выигрыш стороны А при выбранной стратегии A_i .

Выбирая оптимальную стратегию исходим из того, что при стратегии A_i выигрыш составляет a_i (то есть сторона В всегда выбирает наилучшую для себя стратегию B_j при выбранной A_i ).

Поэтому в качестве оптимальной надо выбирать стратегию, которой соответствует или:

Величина a называется нижней ценой игры или максиминным выигрышем или максимином .

Стратегия стороны А, соответствующая максимину называется максиминной стратегией.

Очевидно, что если придерживаться максиминной стратегии, то при любом поведении В гарантирован выигрыш, не меньший, чем a (нижняя цена игры).

Аналогичное рассуждение можно провести для стороны В. В качестве оптимальной для В стратегии необходимо выбрать ту, которой соответствует:

Величина b называется верхней ценой игры (минимаксным выигрышем или минимаксином). Соответствующая b стратегия называется минимаксной стратегией.

Принцип осторожности, диктующий сторонам выбор максиминной и минимаксной стратегией является в теории игр основным и называется принципом минимакса.

Если нижняя цена игры равна верхней, то их общее значение называется чистой ценой игры и n = a = b .

Элемент матрицы, соответствующий n, называется седловой точкой матрицы. Седловой точке соответствует пара минимаксных стратегий (одна - для стороны А, другая - для стороны В). Эти стратегии являются оптимальными, а их совокупность называется решением игры в чистых стратегиях.

Решение игры с седловой точкой обладает следующим замечательным свойством: если одна сторона придерживается своей оптимальной стратегии, а вторая отклоняется от своей оптимальной стратегии, то для стороны, допустившей отклонение это никогда не может быть выгодно.

Пример. Рассмотрим следующую платёжную матрицу игры:

B a_i

A Седловая точка игры a = b = 5.

b_j 8 5 9 18

Оптимальные стратегии: А₂ и В₂ . Оптимальность означает, что если одна из сторон отклонится от оптимальной стратегии, а противник будет придерживаться минимаксной стратегией, то результат игры для отклонившейся стороны будет ухудшаться по сравнению с чистой ценой игры.

Пример.

B a_i

A

b_j 6 7 15 4

Седловой точки нет, так как a ¹ b.

По принципу минимакса игрок А должен выбирать стратегию А₃ , а игрок В - стратегию В₄ . Но при В₄ лучшим ответом для А является страткгия А₄ . Таким образом, минимаксные стратегии являются неоптимальными.

Оказывается, что в играх без седловой точки оптимальная стратегия является смешанной, то есть при многократном повторении игры можно выбрать такой набор вероятностей (частот применения ) стратегий A_i, что ожидаемый средний выигрыш игры будет максимальным.