Главные моменты инерции. Главные оси инерции.
Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения X и у к положению U и V . Из рис. легко установить, что
величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей. Приравняв значение I к нулю, находим положение главных центральных осей, при котором функция I принимает экстремальное значение:
С
учетом (2.12) можно утверждать, что при
один
из осевых моментов
или
будет
наибольшим, а другой наименьшим.
Положительное направление угла
откладывается
против хода часовой стрелки.
Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и находятся по формулам 2.11 или 2.14:
Теория напряженного состояния. Виды напряженного состояния.
Теория напряженного состояния
Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим данную точку.
Исследование напряженного состояния дает возможность анализировать прочность материала для любого случая нагружения тела.
Пусть в окрестности исследуемой точки шестью попарно параллельными плоскостями выделен элементарный прямоугольный параллелепипед с размерами ребер dx, dy и dz (рис.3.1). По его граням будут действовать нормальные “i” и касательные “ij” напряжения.
Обозначения нормальных напряжений содержат один индекс - наименование оси, которой параллельно данное напряжение. В обозначении касательных напряжений используются два индекса: первый совпадает с индексом нормального напряжения, действующего по данной площадке, а второй - наименование оси, которой параллельно данное касательное напряжение.
Используем
принятое правило
знаков для
напряжений. Нормальное напряжение σ
считается положительным, если совпадает
по направлению с внешней нормалью
к площадке, касательные напряжения
считаются
положительными, если вектор касательных
напряжений следует поворачивать против
хода часовой стрелки до совпадения с
внешней нормалью (рис.3.2). Отрицательными
считаются напряжения обратных направлений
(рис.3.3).
Закон парности касательных напряжений
Закон парности касательных напряжений устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элементарного параллелепипеда.
Рассмотрим
элементарный параллелепипед размеров
dx,
dy,
dz
(рис.3.4). Запишем уравнение равновесия
параллелепипеда в виде суммы моментов
относительно оси z,
получим:
,
или, отсюда
.
Аналогично можно получить
и
.
Это и есть закон парности касательных напряжений.
Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по знаку:
,
,
.