18.Производная функции одной переменной. Основные определения. Геометрический и механический смысл.
Физический смысл производной:
Производная показывает скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента x.
Геометрический смысл производной:
Производная 
в
точке
равна
угловому коэффициенту касательной к
графику функции
в
точке, абсцисса которой равна
.
19.Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.
Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Теорема 7.1. Если функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема
в произвольной точке x0, т.е. имеет в этой
точке производную 
(x0).
Запишем приращение функции ∆y точке
x0:
∆y
=
(x0)
∆ x +
∆
x, где
→0 при ∆
x→0 (см. доказательство теоремы 6.1).
Пусть теперь ∆ x→0. Тогда, очевидно, и ∆y→0. Но это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.
Утверждение, обратное этой теореме, неверно: из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость в этой точке. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие в этой точке производной. Примером такой функции служит функция
y=
=
(см. рис.4).
Эта функция непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Действительно, приращение этой функции в точке x = 0 есть
∆y
= f(0+∆ x) ─ f(0) = f(∆ x) = 
,
=
=
,
т.е.
в любой сколь угодно малой окрестности
значения 
отношение
принимает
два различных значения: 1 и ─1.
Это означает, что предел 
не
существует, т.е. функция y=
не
имеет производной в точке x = 0, а,
следовательно, график функции не имеет
касательной в точке O(0;0) (поскольку
угловой коэффициент касательной должен
быть равен производной, но производной
не существует).
20.Дифференциал функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие дифференциала. Геометрический смысл.
Дифференциал функции одной переменной:
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x0,то есть ее приращение представимо в виде:
|
Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = AΔx+α(Δx)Δx, |
|
где А - число, не зависящее от Δx, а α(Δx) - бесконечно малая функция при Δx→0.
Тогда выражение AΔx называется дифференциалом функции f(x) в точке х0 и обозначается символом
|
dy = AΔx. |
|
|
|
Необходимое и достаточное условие дифференциала:
Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.
При этом
|
Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx, |
|
где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.
Геометрические смысл:
Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0. Проведем касательную к графику этой функции в точке M0(x0, f(x0)) (рис. 1).
Угловой коэффициент касательной равен tg α = f '(x0), где α — угол между касательной и осью OX. При изменении абсциссы х0 на Δx приращение ординаты соответствующей точки касательной равно
|
Δx · tg α = f '(x0) · Δx ≡ df(x0). |
|
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х0 равен приращению, которое получает линейная функция, графиком которой является касательная, при переходе из точки x0 в точку x0 + Δx.
21.Дифференциал. Геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Геометрический смысл: см. билет 20.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям:
22. Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
23.Основные правила дифференцирования. Производная постоянной, производная суммы.